解析延拓

解析延拓（英語：Analytic continuation）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函數與黎曼ζ函數。

初步闡述

自然對數虛部之解析延拓

若f為一解析函數，定義於複平面C中之一開子集 U，而V是C中一更大且包含U之開子集。F為定義於V之解析函數，並使

$\displaystyle F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,$

則F稱為f之解析延拓。換過來說，將F函數限制在U則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性：

若V為兩解析函數F₁及F₂的連通定義域，並使V包含U；若在U中所有的z使得

F₁(z) = F₂(z) = f(z)，

則在V中所有點

F₁ = F₂。

此乃因 F₁ − F₂亦為一解析函數，其值於f的開放連通定義域U上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數之惟一性定理的直接結果。

應用

在複分析處理過程中定義函數的通常做法是，首先在較小的定義域中具體定義函數，然後通過解析延拓將其擴展到指定範圍。在實際操作中，為了實現函數的連續性，我們需要在較小的定義域中建立函數方程， 然後通過這個方程拓展定義域。例如黎曼ζ函數和Γ函數。全覆蓋的概念最早用來定義解析函數解析延拓之後的自然定義域。尋找函數解析延拓後的最大定義域的想法最後導致了黎曼面的誕生。

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