在數學中,本原元定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/F,E可以表示為
的形式,即E可以由單個元素生成。
一個有限擴張E/F有本原元,即存在
使得
,若且唯若E和F之間只有有限個中間域。
如果
是有限域,由於
是有限擴張,推得
也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群,任取這個乘法群的一個生成元,
可以由這個生成元生成。所以在
是有限域的情況下,定理左右兩邊恆為真。
如果
是無限域,但是只有有限個中間域。
先證明一個引理:假設
並且
和
之間只有有限個中間域,那麼存在一個
使得
。引理的證明如下:當
取遍
的時候,對於每一個
可以做一個中間域
。但是由假設,只有有限個中間域,因此必定存在
使得
。由於
都在這個域裏,推得
也在這個域裏。由於
,推得
在這個域裏,於是
也在這個域裏,因此
,於是
。引理證畢。
由於有限擴張總是有限生成的,推得
(對於
)。利用歸納法以及引理可以得出,如果
之間只有有限個中間域,那麼
可以由單個元素生成。
而如果
,假設
是
在
上的極小多項式,
是任意一個中間域,
是
在
上的極小多項式。顯然
。由於域上的多項式環是唯一分解環,
只有有限個因子。而對於每一個
,如果
寫作
,並令
。顯然
是
的一個子域,因此
在
上依然是不可約的。而同時
,因此可以得到
。這樣立即推
,於是任何一個中間域
對應唯一的一個
的因子
。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的,因此中間域個數有限。證畢。
- 由於有限可分擴張只有有限個中間域,由本原元定理立刻推出這個擴張有單個生成元