打靶法

打靶法（英語：Shooting method）是數值分析中在求解邊界值問題時，將解歸約為求解數個初值問題的方法。下面的討論在打靶法的解釋中有詳細註釋。

對於一個二階常微分方程的邊界值問題，該方法表述如下： 令

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}$

為邊界值問題。 令 y(t₁; a) 代表下列初值問題的一個解

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a$

定義函數F(a)為y(t₁; a)和給定邊界值y₁的差

$F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}\,$

若邊界值問題有解，則F有一個根，而這個根就是y'(t₀)的給出邊界問題解y(t)的取值。

上述問題的求解可以採用通常的求根方法，例如二分法或者牛頓法。

線性打靶法

邊界值問題是線性的，若f形為

$f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).\,$

這個情況下，邊界值問題的解通常給出為

$y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)$

其中$y_{(1)}(t)$是下面的初值問題的一個解

$y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=0,$

而$y_{(2)}(t)$是下面的初值問題的解：

$y''(t)=p(t)y'(t)+q(t)y(t),\quad y(t_{0})=0,\quad y'(t_{0})=1.$

結果成立的精確條件請參看證明。

例子

Stoer及Burlisch曾提出一個如下的邊界值問題（Section 7.3.1）

$w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w(1)=1$

以下的初值問題

$w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s$

在s = −1, −2, −3, ..., −100等條件下求解，且令F(s) = w(1;s) − 1，其圖形繪製在第一圖中，根據圖中可知，其解接近−8及−36。 第二圖繪出一些w(t;s)的軌跡。

初值問題的解是由LSODE演算法計算，利用數學軟件GNU Octave實現。

Stoer及Bulirsch列出有二個解，可以用代數法求解。 對應初始條件約w′(0) = −8及 and w′(0) = −35.9時的值。

F(s) = w(1;s) − 1.

w(t;s)的軌跡，s = w'(0)等於−7, −8, −10, −36及−40（顏色分別是紅、綠、藍、淺藍、洋紅），(1,1)有繪製一紅色的菱形。

參考

• Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 7.3.)