可測函數(英語:measurable function)是保持可測空間結構的函數,也是勒貝格積分中主要討論的函數。
取本節定義中的
為實數系
,然後取:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d0bd0ac0429611111bd22048ae71d327e7e57cb)

換句話說,
是由實數開區間所生成的博雷爾代數(注意到
本身是個拓撲基),那麼這樣的
-
可測函數
,通常會簡稱為
- 實可測函數;甚至簡稱為實可測函數。概率論裏的隨機變量就是實可測函數。
如果
與
正好也是拓撲空間,這時取以下兩個最小σ-代數:


換句話說,
是由
上開集所生成的博雷爾代數;
是由
上開集所生成的博雷爾代數,那這樣
-
可測函數
又稱為
-
博雷爾函數(Borel function)。
根據拓撲空間連續函數的定義,
-
博雷爾函數必定
-
連續,但反之不成立,原因可見下面可測函數的性質的定理(2)。
證明
|
以下將逐條檢驗 是否符合σ代數的定義
(1)
因為:
![{\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d01ee8ad1948a54c063db9a2dc0e814cf7382c9)
所以 。
(2) ,則
若 ,因為:
![{\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d0e7597821108a66a72ccd39c12e385de134ef)
所以 。
(3)可數個併集仍在 中
若 ,那因為:
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62fbbcd8fd8fcd814c71a56c2964c8763a0dce48)
所以 。
綜上所述, 的確是 的σ代數。
|
- 兩個可測的實函數的和與積也是可測的。
- 可數個實可測函數的最小上界也是可測的。
- 可測函數的逐點極限是可測的。(連續函數的對應命題需要比逐點收斂更強的條件,例如均勻收斂。)
- 盧辛定理
勒貝格可測函數是一個實函數f : R → R,使得對於每一個實數a,集合

都是勒貝格可測的集合。勒貝格可測函數的一個有用的特徵,是f是可測的當且僅當mid{-g,f,g}對於所有非負的勒貝格可積函數g都是可積的。
不是所有的函數都是可測的。例如,如果
是實數軸
的一個不可測子集,那麼它的指示函數
是不可測的。