腎形線

腎形線可以用在一圓上滖動的圓來產生

腎形線（nephroid）是外形類似腎臟的平面曲線，其英文nephroid源自希臘語的 ὁ νεφρός （ho nephros），和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指Richard A. Proctor在1878年提出的曲線，不過有時也會用來描述其他曲線。

腎形線是六度的代數曲線，可以用一個半徑為 $a$的圓在半徑為$2a$的固定圓上滾動而得，因此腎形線也屬於外擺線，有二個尖點。腎形線是平面的簡單閉曲線，因此也是若爾當曲線。

方程式

腎形線的定義

杯底的腎形線焦散

考慮一小圓在一固定圓的外面滾動，若小圓的半徑為$a$，固定圓的圓心在$(0,0)$，半徑為$2a$，小圓的滾動角為$2\varphi$，啟始點為$(2a,0)$（如圖所示），則可以得到腎形線的

• 參數式

$x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,$

$y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi$

將 $x(\varphi )$ 和 $y(\varphi )$ 代入以下方程

• $(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}$

可知上述方程即為腎形線的隱函數表示式。

若尖點是在Y軸上，則參數式為

$x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).$

隱函數表示式為

$(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.$

性質

上述的腎形線，有以下的性質

• 弧長為$L=24a,$
• 面積為$A=12\pi a^{2}\$
• 曲率半徑為 $\rho =|3a\sin \varphi |.$

參考資料

• Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p. 54.
• Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p. 148.
• Lockwood, E. H., A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7, p. 7.

外部連結

• Mathworld: nephroid （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Xahlee: nephroid （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）