獨特點

在非厄米量子力學中，獨特點（英語：Exceptional point）或稱為優越點、奇異點、例外點，是參數空間中的奇點。在這個點處，哈密頓量的兩個或多個本徵態（本徵能量和本徵向量）重合。 等效地，在這個點處若爾當標準型中投影和冪零元表現出不連續的變化。數學上獨特點的哈密頓量是不可對角化的或是缺失的， 也就是一個 n 階哈密頓量缺失矩陣的獨立特徵態會少於 n 個，就好像在這個點附近失去了維度。在耗散系統中哈密頓量為非厄米，其能譜一般在複平面上，所以允許獨特點的出現。物理上，獨特點的出現會伴隨代數奇點(algebraic singularity， 也稱為分支點)的出現。 上面所說的獨特點在實際中雖然是有用的，但以數學語言來說，只是更一般概念的第一類獨特點的特例。兩種不同類型獨特點的數學定義由 加藤敏夫(Toshio Kato) 半個多世紀前首次引入， 其中第二類獨特點經常被忽視。 我們注意到這些數學上的定義通常比大多數物理學文獻討論的獨特點的概念更普遍。物理上，在獨特點附近量子態受外界影響的變化更加劇烈，這個性質可以應用在傳感器精度與敏感性的提高 或是應用在物理學的廣泛領域，如力學、原子和分子物理學、量子相變、甚至量子混沌。

第一和第二類獨特點

我們考慮n × n 矩陣 $T(x)$ ，其中每個元素都是 $x$ 的復解析函數。不失一般性， 我們假設這些解析函數在原點的鄰域 $D_{0}$ 上良定義，因此我們可以將矩陣展開為 $T(x)=\sum _{p=0}^{\infty }x^{p}T_{p},\forall x\in D_{0}$。 設$T(x)$ 的不同本徵值的個數為$J$，則$J$除若干離散點外在$D_{0}$上應是一個常量整數。這些離散點定義為第一類獨特點，並發生簡併。 簡併在第一類獨特點上只會增加永遠不會減少。 一個例子是矩陣 $T(x)={\begin{bmatrix}0&1\\x&0\end{bmatrix}}$ 的本徵值為 ${\sqrt {x}}$ 和 $-{\sqrt {x}}$ 且是雙值函數的分支。在$x=0$點處是第一類獨特點。

儘管如此，第二類獨特點其特徵不在於本徵值的合併，甚至可以是非典型的可對角化的點。矩陣 $T(x)={\begin{bmatrix}0&x\\0&0\end{bmatrix}}$ 是永久簡併的，且對所有$x$ 本徵值為 0 。這裏沒有任何第一類獨特點。矩陣 $T(x)$ 的若爾當標準型為

$T(x)=v(x){\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}v(x)^{-1},v(x)={\begin{bmatrix}1&b\\0&x^{-1}\end{bmatrix}},$

其中 $b$是任意複數。顯然，在 $x=0$ 點處冪零元部分表現出奇異性，因此該點是第二類獨特點。

光子學

因為耗散是光子學中常見的特徵，所以光子學系統常用於研究非厄米物理學。 在有狄拉簡併點出現處的光子學系統中添加非厄米性（例如二色性）會將這個點轉換為一對獨特點。此現象已經在許多光子學系統中得到了實驗證明，例如微腔和光子晶體。 於 1902 年 Woldemar Voigt 在水晶中首次展示了獨特點的存在。

保真度和保真率

在凝聚態和多體物理中，保真度（英語：fidelity）經常被用來探測參數空間中的量子相變。保真度的定義是參數空間中鄰近的兩個點的基態波函數的內積，$F=|\langle \psi _{0}(\lambda )|\psi _{0}(\lambda +\epsilon )\rangle |^{2}$，其中 $\epsilon$ 是一個小量。經過泰勒級數展開後，保真度的一階修正項為零，$F=1-\chi _{F}\epsilon ^{2}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{3})$ ，二階修正項的系數可稱為保真率（英語：fidelity susceptibility）。保真率在參數靠近量子相變點的時候往正無窮大發散。

$\lim _{\lambda \to \lambda _{\mathrm {QCP} }}\mathbb {Re} \chi _{F}=\infty$

而對於非厄米量子力學的獨特點，經過適當推廣保真度的定義

$F=\langle \psi _{0}^{L}(\lambda )|\psi _{0}^{R}(\lambda +\epsilon )\rangle \langle \psi _{0}^{L}(\lambda +\epsilon )|\psi _{0}^{R}(\lambda )\rangle$

保真率的實部在參數靠近獨特點時往負無窮大發散。

$\lim _{\lambda \to \lambda _{\mathrm {EP} }}\mathbb {Re} \chi _{F}=-\infty$

對於具有 PT對稱性（需要在宇稱反轉和時間反演對稱算符同時作用下的不變性）的非厄米量子系統，保真度可用於分析獨特點是否為高階獨特點。許多數值方法，如蘭佐斯算法、密度矩陣重整化群和其他張量網絡演算法，僅計算基態相對容易，但計算激發態有許多困難。由於保真度只需要基態計算，這使得大多數數值方法可以在沒有激發態的資訊下分析非厄米系統，找到獨特點並確定它是否為高階獨特點。

參見

• 狄拉克錐
• 非厄米量子力學