對稱化

數學中，對稱化是將n元任意函數轉換為n元對稱函數的過程。同樣，反對稱化將n元任意函數轉換為反對稱函數。

二元

令S為集合，A是加法阿貝爾群。映射 $\alpha :S\times S\to A$ ，若滿足以下條件，則稱其為對稱映射： $\alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.$ 若滿足以下條件，則稱其為反對稱映射： $\alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.$

映射 $\alpha :S\times S\to A$ 的對稱化是映射 $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).$ 相似地，映射 $\alpha :S\times S\to A$ 的反對稱化或斜對稱化是映射 $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).$

映射 $\alpha$ 的對稱化與反對稱化之和為 $2\alpha .$ 因此，若2是可逆元，例如對實數，可以除以2並將每個函數表為對稱函數與反對稱函數之和。

對稱映射的對稱化是它的兩倍，交錯映射的對稱化是0；相似地，對稱映射的反對稱化是0，反對稱映射的反對稱化是它的兩倍。

雙線性形式

雙線性映射的（反）對稱化是雙線性的，因此若2是可逆元，雙線性形式是對稱形式與斜對稱形式之和，對稱形式與二次型之間沒有區別。 2時，並非所有形式都可分解為對稱形式與斜對稱形式。例如，整數上，相關的對稱形式（有理數上）可能取半整數值，而在 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 上，若且唯若函數是對稱的（ $1=-1$ ），才是斜對稱的。