高歐拉商數
高歐拉商數(highly totient number)k是有以下性質,大於1的正整數:使以下方程式有多個解
- φ(x) = k
其中φ是歐拉函數,而且若k用其他較小的整數代入時,解的個數都會比剛剛的個數要少。
例如方程式φ(x) = k,在k=1,2,3,4,5,6,7,8時,分別有2,3,0,4,0,4,0,5個解,φ(x) = 8有5個解,若代入小於8的數值,解都少於5個,因此8是高歐拉商數。
頭幾個高歐拉商數是:
1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 (OEIS數列A097942).
分別使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72個解。若將使φ(x) = k分別恰有0個解、1個解、2個解……的最小k值組成一個數列,則高歐拉商數會是此數列的一個子集[1]。例如8為高歐拉商數,φ(x) = 8有5個解,表示任何小於8的整數都無法使φ(x) = k有5個解,因此8是使φ(x) = k有5個解的最小k值。
若x的質因數分解為,其歐拉商數為以下的乘積:
因此,高歐拉商數和較小的整數相比,高歐拉商數可以表示為更多種以上式表示的乘積。
高歐拉商數的概念有點類似高合成數;1既是高合成數中唯一的奇數,也是高歐拉商數中唯一的奇數(其實1是歐拉函數值域中唯一的奇數)。而且高歐拉商數和高合成數都有無限多個,不過隨著數字的增加,要找到高歐拉商數也就越來困難,因為歐拉商數和質因數分解有關,數字越大,就越難進行質因數分解。
舉例
[編輯]有五個整數(15, 16, 20, 24和30)的歐拉商數是8。比8小的整數中,沒有哪一個是五個整數的歐拉商數。因此8是高歐拉商數。
表
[編輯]n | 使的k值(OEIS數列A032447) | 使的k的個數(OEIS數列A014197) |
0 | 0 | |
1 | 1, 2 | 2 |
2 | 3, 4, 6 | 3 |
3 | 0 | |
4 | 5, 8, 10, 12 | 4 |
5 | 0 | |
6 | 7, 9, 14, 18 | 4 |
7 | 0 | |
8 | 15, 16, 20, 24, 30 | 5 |
9 | 0 | |
10 | 11, 22 | 2 |
11 | 0 | |
12 | 13, 21, 26, 28, 36, 42 | 6 |
13 | 0 | |
14 | 0 | |
15 | 0 | |
16 | 17, 32, 34, 40, 48, 60 | 6 |
17 | 0 | |
18 | 19, 27, 38, 54 | 4 |
19 | 0 | |
20 | 25, 33, 44, 50, 66 | 5 |
21 | 0 | |
22 | 23, 46 | 2 |
23 | 0 | |
24 | 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90 | 10 |
25 | 0 | |
26 | 0 | |
27 | 0 | |
28 | 29, 58 | 2 |
29 | 0 | |
30 | 31, 62 | 2 |
31 | 0 | |
32 | 51, 64, 68, 80, 96, 102, 120 | 7 |
33 | 0 | |
34 | 0 | |
35 | 0 | |
36 | 37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126 | 8 |
37 | 0 | |
38 | 0 | |
39 | 0 | |
40 | 41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150 | 9 |
41 | 0 | |
42 | 43, 49, 86, 98 | 4 |
43 | 0 | |
44 | 69, 92, 138 | 3 |
45 | 0 | |
46 | 47, 94 | 2 |
47 | 0 | |
48 | 65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210 | 11 |
49 | 0 | |
50 | 0 |
相關條目
[編輯]- L. Havelock, A Few Observations on Totient and Cototient Valence from PlanetMath
相關條目
[編輯]參考資料
[編輯]- L. Havelock, A Few Observations on Totient and Cototient Valence from PlanetMath