長球波函數

在數學中，長球波函數由一個限時、限頻、與第二個限時的函數相乘而成。假定$Q_{T}$表示一個切截時間的運算器，且$x=Q_{T}x$，則x必為有限時間區間的函數，當x在$[-T/2;T/2]$的區間內。同理，假定$P_{W}$表示一個理想的低頻濾波器，且$x=P_{W}x$，則x必為有限頻寬區間的函數，當x在$[-W;W]$的區間內。透過組合上述運算子，使得$Q_{T}P_{W}Q_{T}$轉變成線性、有界且自伴的運算式。對於$n=1,2,\ldots$，我們假設$\psi _{n}$為第n項的本徵函數，定義下列函式

$\ Q_{T}P_{W}Q_{T}\psi _{n}=\lambda _{n}\psi _{n},$

其中$\{\lambda _{n}\}_{n}$為對應的本徵值。此時限函數$\{\psi _{n}\}_{n}$即為長球波函數(PSWFs).在此領域中，幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出。

這些函數有些不同的意涵，當在解亥姆霍茲方程$\Delta \Phi +k^{2}\Phi =0$，透過在長球面坐標系做變數分離，使得$(\xi ,\eta ,\phi )$各代表：

$\ x=(d/2)\xi \eta ,$

$\ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\cos \phi ,$

$\ z=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\sin \phi ,$

$\ \xi >=1$ and $|\eta |<=1$.

得到解$\Phi (\xi ,\eta ,\phi )$為長球波函數$R_{mn}(c,\xi )$與角球波函數$S_{mn}(c,\eta )$的成積乘上$e^{im\phi }$. 這裡的變數c可定義為$c=kd/2$, with $d$為長球的橢圓截面的兩焦點的距離。

徑向波(The radial wave function)$R_{mn}(c,\xi )$滿足線性常微分方程:

$\ (\xi ^{2}-1){\frac {d^{2}R_{mn}(c,\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi )}=0$

此本徵值$\lambda _{mn}(c)$在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透過設定${R_{mn}(c,\xi )}$為有限函數，當 $|\xi |\to 1_{+}$.

角波函數滿足下列微分方程：

$\ (\eta ^{2}-1){\frac {d^{2}S_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta )}=0$

這跟徑向波函數式為同樣的微分方程。然而，這兩式的變數的範圍是不同的(在徑向波函數中$\xi >=1$)，在角波函數中$|\eta |<=1$)。

當給定$c=0$，這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子。當給定$c\neq 0$，角波函數可被展開成勒讓德級數。

注意，如果我們將角波函數寫成$S_{mn}(c,\eta )=(1-\eta ^{2})^{m/2}Y_{mn}(c,\eta )$，函數$Y_{mn}(c,\eta )$將滿足以下線性微分方程：

$\ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}Y_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(c^{2}\eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,$

此函數為球波函數。這個輔助方程式在Stratton 1935年的文章被當作例子。

現存不少不同的球函數標準化的方法，在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及現在的相關文章)都沿用Flammer當初提出來的符號。

一開始，球波函數是由C. Niven,提出，他在球座標上引入Helmholtz方程式。許多專題論文已經探討出球波函數的很多面向，例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer.等人的作品。

Flammer提供了一個完整的討論，計算出長球與扁球的本徵值、角波函數與徑函數。許多電腦程式已經因應發展出來，其中包含King與其團隊, Patz和Van Buren, Baier與其團隊, Zhang和Jin, Thompson,、Falloon. Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函數，延伸了數值解的能力，能運算極廣的變數範圍。Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法，可見於http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

Flammer, Hunter, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格。

NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函數的良好資源。

關於值域落在單位球的表面的長球波函數，我們通稱為"Slepian functions" (另見「頻譜集中問題」)。這函數存在非常多的應用，像是大地測量以及宇宙學.

外部連結

• MathWorld Spheroidal Wave functions （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• MathWorld Prolate Spheroidal Wave Function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• MathWorld Oblate Spheroidal Wave function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）