質量通量(mass flux)是指單位時間內通過單位面積的質量,常用j、J、φ或Φ 表示,有時會加下標m表示是針對質量的通量。其國際標準制單位為kg s-1 m-2。
質量通量可以用以下的極限來定義:
![{\displaystyle j_{m}=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I_{m}}{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e61faa829b4acab2b1c4a3664b770173270733)
其中
![{\displaystyle I_{m}=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaec9fdc1e8c63faabdf032a64f8c7a5eac03dd9)
是單位時間的質量,而A是質量所通過的截面積。
若要計算向量形式的質量通量jm,需要計算從時間t1到t2之間通過表面S的曲面積分,可以得到在時間(t2 − t1)內通過表面的總質量:
![{\displaystyle m=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680415b1ed4f9403233802ab718946d1c0f61784)
要計算的面積可能是平坦或是彎曲的,也可能是一個曲面或是一截面積。例如考慮流過管路內的流體,則其面積就是指定區域的截面積。
向量面積是由面積大小A和面積的單位法向量
組合而成的物理量,其關係是
。
若質量通量jm和截面積的法向量
有θ度的夾角,則
![{\displaystyle \mathbf {j} _{m}\cdot \mathbf {\hat {n}} =j_{m}\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a43fb7a3623cdd46be4a7ee934bc95269655e4a)
其中·為向量的內積,因此通過截面積的質量通量為jm cos θ,而沿著截面積切線的質量通量為jm sin θ,但這部份的分量沒有通過截面積。
配合向量的定義,質量通量也可以表示為下式[1]:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {m}}=\rho \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f399926fc3986836e8e6f8aa82d5839f65b84b)
其中:
有時可以用此方程來定義向量形式的質量通量。
若流體是多種物質的混合物,需依混合物中的各個成份個別計算質量通量。
若流體中只有一種物質,適合用質量通量來表示,但若流體中包括許多不同的粒子,此時比較適合用另一個類似的物理量來描述,稱為莫耳通量。
若使用質量通量,成份i的質量通量為:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho _{i}\mathbf {u} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9b6002102b536d8d28435d2eea2dc68e2a1535)
成份i的質心質量通量(barycentric mass flux)為:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}=\rho \left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8293119ae2e03b1e5ef0196e6ea3f5af64da4f)
其中
為混合物中所有成份的平均質量流速(mass velocity),可以用下式計算:
![{\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\rho _{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b37bb140e6e974fb8e86e6cf0a58279559c83f7)
其中:
- ρ為混合物的平均密度
- ρi為成份i的密度
- u i為成份i的速度
平均速度是依所有成份依密度加權來計算平均。
若將上式的密度ρ改為莫耳數n,則可計算莫耳通量。
莫耳通量是單位時間通過單位體積的莫耳數:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {n}}=n\mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747253007f47b01c257ea26acce398911234cb30)
因此成份i的莫耳通量(單位時間通過單位體積的莫耳數)為:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n_{i}\mathbf {u} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cfa54819784d91b0ac8e2ef752387c612ed941)
成份i的質心莫耳通量(barycentric molar flux)為:
![{\displaystyle \mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}=n\left(\mathbf {u} _{i}-\langle \mathbf {u} \rangle \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f036b1f1cd0080a136606e7b100743840d39b2a7)
此時
則是混合物中所有成份的莫耳速度(molar velocity):
![{\displaystyle \langle \mathbf {u} \rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{i}n_{i}\mathbf {u} _{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02294ebb2b741f582d0242bb770d8d34b1f1d474)
在流體動力學的連續方程式中會用到質量通量:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {m}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ff0a09757dbb4db6b5dd5acb024949955381e4)
上述方程式表示流體的質量守恆,流體只能從一處流到另一處。
莫耳通量則出現在有關擴散作用的菲克第一定律中:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} _{\rm {n}}=-\nabla \cdot D\nabla c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2be0a5804c64d4b3184dad8e957b60e34144ddf0)
其中D為擴散係數,c為物質的濃度。
- ^ Vectors, Tensors, and the basic Equations of Fluid Mechanics, R. Aris, Dover Publications, 1989, ISBN(10) 0-486-66110-5