拉普拉斯逆變換

在數學中，函數$F(s)$的拉普拉斯逆變換是一個分段連續的實函數$f(t)$，滿足如下性質：

${\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),$

其中，${\mathcal {L}}$表示拉普拉斯變換。

可以證明：如果函數$F(s)$具有拉普拉斯逆變換$f(t)$，則$f(t)$唯一（考慮在勒貝格測度為零的點集上彼此不同的函數）。這個定理由馬提亞·萊奇於1903年首先證明，因而稱之為萊奇定理。

因其具有的許多性質，正反拉普拉斯變換在線性動態系統的分析中頗有可為。

梅林反演公式

拉普拉斯逆變換的積分形式，稱為梅林反演公式（英語：Mellin's inverse formula）、布羅米奇積分或傅里葉-梅林積分，由線積分定義：

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds$

積分路徑是複平面中的垂線$Re(s)=\gamma$，其中$\gamma$大於$F(s)$所有奇點的實部，且$F(s)$在積分路徑上有界（例如積分路徑位於$F(s)$收斂域內）。當所有奇點位於左半平面內，或$F(s)$是整函數時，可以將$\gamma$置零，此時上述積分退化為傅立葉逆變換。

在實踐中，復積分的計算可以通過柯西留數定理完成。

珀斯特反演公式

拉普拉斯逆變換的微分形式，稱為珀斯特反演公式（英語：Post's inversion formula），以數學家埃米爾·珀斯特 (Emil Post)命名， 是一個看似簡便但並不常用的拉普拉斯逆變換計算公式。

公式表述如下：設$f(t)$為區間[0, +∞) 的指數階函數，存在實數b ，使$f(t)$滿足：

$\sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty$

則對於任意$s>b$，$f(t)$的拉普拉斯變換均存在且對於s無限可微。設$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯變換，則$f(t)$可由下式定義：

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)$

其中$t>0$，$F^{(x)}$是$F$對$s$的k階導數。

分析公式可以看出，該方法需要計算函數$F(s)$的任意高階導數，這在大多數應用場景下並不現實。

隨着個人計算機的出現，該公式主要用於處理拉普拉斯逆變換的近似或漸近分析，及通過格倫瓦爾德-萊特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微積分計算導數。

隨着計算科學的進步，珀斯特反演公式引起了人們興趣，由於其不需要$F(s)$的具體極點坐標，通過數次逆梅林變換，可能實現對黎曼猜想的漸近分析。

軟件工具

• InverseLaplaceTransform （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：在Mathematica中求拉普拉斯逆變換的解析解
• 使用 Mathematica 中的複數域對拉普拉斯變換進行多精度數值反演 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• ilaplace （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：在MATLAB中求拉普拉斯逆變換的解析解
• Matlab 中拉普拉斯變換的數值反演
• Matlab中基於集中矩陣指數函數的拉普拉斯變換數值反演 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

相關條目

• 傅里葉變換
• 泊松求和公式

相關書目

• Davies, B. J., Integral transforms and their applications 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4 
• Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D., Handbook of integral equations, London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3 
• Boas, Mary, Mathematical Methods in the physical sciences, John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1  含有內容需登入查看的頁面 (link) (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)
• Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946 
• Elementary inversion of the Laplace transform （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

外部連結

• EqWorld 的積分變換表 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

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