對偶錐和極錐

對偶錐和極錐（英語：dual cone and polar cone）是凸分析中的兩個概念。

對偶錐

集合C和它的對偶錐C^*

在向量空間內

實數線性空間 X （例如歐幾里得空間Rⁿ）中子集 C 的雙錐C^*，與對偶空間 X* 成集合：

$C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},$

此中 $\langle y,x\rangle$ 是 X 和 X* 的對偶組合，即 $\langle y,x\rangle =y(x)$

C* 始終是凸錐，即使 C 既不是凸錐也不是錐。

在拓撲空間內

如果 X 是實數或複數上的拓撲向量空間，則其子集 C⊆X 的對偶錐是 X 上的以下連續線性泛函集合：

$C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}$,

這是集合 -C 的極錐，不管 C 是什麼。$C^{\prime }$ 都將是一個凸錐。如果 C⊆{0}，則$C^{\prime }=X^{\prime }$。

極錐

閉合凸錐C的極錐是閉合凸錐C^o，反之亦然

對於X中的集合C，C的極錐是集合

$C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

可以看出，極錐等於雙錐的負值，即C^o=−C^*。

對於X中的閉合凸錐C，極錐相當於C的極集（polar set）。