動能

車子在斜坡上的位置不同，其動能與勢能（位能）亦不相同。

動能 （英語：Kinetic energy）是物質運動時所得到的能量。它通常被定義成使某物體從靜止狀態至運動狀態所做的功。由於運動是相對的，動能也是相對於某參照系而言。同一物體在不同的參照系會有不同的速率，也就是有不同的動能。動能的國際單位是焦耳（J），以基本單位表示是千克米平方每秒平方（kg·m²·s^-2）。一個物體的動能只有在速率改變時才會改變。

經典力學

在經典力學，一個質點（一個很小的物體，它的大小基本可以忽略）或者一個沒有自轉的剛體的動能、速率與質量的關係是：

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

其中$E_{k}$代表動能，$m$代表質量，$v$代表速率。

而當一個物體的質量不變，一個物體平移的動能、速率與質量的關係亦同上。

一個物體的動能與動量的關係為：

$E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}$

其中$E_{k}$代表動能，$p$代表動量的數值及$m$代表質量。

推導與定義

我們可選擇任意一個慣性參考系來考慮動能。一個物體原來靜止，在受到作用力之後便加速。它所得到的動能是總共的作用力對它所做的功。

$W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$

其中$W$代表功，${\vec {F}}$代表物體所受到的總共的作用力，${\vec {s}}$代表物體的位移。

根據牛頓第二定律，

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

其中${\vec {F}}$代表力，${\vec {p}}$代表動量，$t$代表時間。

動量、速度與質量的關係為：

${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

其中${\vec {p}}$代表動量，$m$代表質量，${\vec {v}}$代表速率。

在牛頓力學中，一個物體的質量不隨速率的改變而改變。

$W=\int {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}={\frac {1}{2}}\int md({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})={\frac {1}{2}}mv^{2}+C_{0}$

其中$W$代表功，${\vec {p}}$代表動量，$t$代表時間，${\vec {v}}$代表速度，$v$代表速率，$m$代表質量，$C_{0}$代表不定常數。當物體的速率為零時，其動能亦為零。因此，

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

其中$E_{k}$代表動能，$m$代表質量及$v$代表速率。

自轉的物體

如果一個物體自轉，它便有自轉動能。自轉動能是它的每一質點的平移動能的和。

$E_{r}={\frac {1}{2}}\int v^{2}dm={\frac {1}{2}}\int r^{2}\omega ^{2}dm={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\int r^{2}dm={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

其中$E_{r}$代表自轉動能，$v$代表速率，$\omega$代表角速度，$m$代表質量及$r$代表質點到旋轉軸間的距離。

相對論

在狹義相對論中，我們必須改變線性動量的表達式。

使用$m$表示靜止質量，$\mathbf {v}$和$v$分別表示物體的速度和速率， 而$c$表示真空中的光速，我們假設線性動量$\mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v}$， 其中$\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

分部積分得到

$E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})$

回憶$\gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!$，我們得到：

${\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}\end{aligned}}$

其中$E_{0}$作為積分常數。 於是:

${\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\\&=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}$

通過觀察$\mathbf {v} =0,\ \gamma =1\!$ 且 $E_{\text{k}}=0\!$，得到積分常數$E_{0}$應為

$E_{0}=mc^{2}\,$

並給出通常的公式

$E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$

極限

$\lim _{v\rightarrow c}E_{\text{k}}=\infty$

當速度趨向光速，動能趨向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

利用泰勒公式：

${\begin{aligned}E_{\text{k}}&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\\&=mc^{2}(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\cdots )-mc^{2}\\&=mc^{2}+{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+\cdots -mc^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}$

低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

參見

• 勢能（又稱「位能」）
• 機械能
• 能量
• 相對論
• 牛頓運動定律