凸共軛

在數學中，凸共軛（英語：convex conjugate）是勒讓德變換的一種推廣；凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。

定義

函數 $f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$ 在擴展的實數軸上取值。

它的凸共軛定義為： $f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}$

這裡， $X$ 表示實賦範向量空間， $X^{*}$ 表示 $X$ 的對偶空間。

映射 $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]$ 表示一個二次型，滿足：對於 $X^{*}$ （ $X$ ）中任意非零元素 $x^{*}$ ，總能在 $X$ （對應地， $X^{*}$ ）中找到一個元素 $x$ 使得 $\left\langle x^{*},x\right\rangle =0$ 。

例子

仿射變換 $f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R}$ ；它的凸共軛是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}$

冪函數 $f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty$ ；它的凸共軛是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty$ 這裡 ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$

絕對值變換 $f(x)=\left|x\right|$ ；它的凸共軛是：

$f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}$

指數函數

$f(x)=\,\!e^{x}$ ；它的凸共軛是： $f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}$

性質

逆序性

如果 $f\leq g$ ，那麼就有 $g^{*}\geq f^{*}$ 。這裡的 $f\leq g$ 指，對定義域中所有元素 $x$ ，都有 $f(x)\leq g(x)$ 成立。

半連續性與兩次凸共軛

函數 $f$ 的凸共軛總具有半連續性，因此函數 $f$ 的兩次共軛 $f^{**}$ 也具有半連續性。同時， $f^{**}$ 還是是閉凸包，也即最大的凸的半連續函數，滿足 $f^{**}\leq f$ 。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，對於合適的函數 $f$ ， $f^{**}=f$ 當且僅當 $f$ 是半連續的凸函數。

Fenchel不等式

$\left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p)$ ，這裡 $x\in X,p\in X^{*}$ ， $f^{*}$ 是 $f$ 的凸共軛。

凸性

凸共軛算子自身是凸的，即：

取函數 $f_{1},f_{2}$ ， $(0,1)$ 間任意實數 $\lambda$ ，有： $\left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{\star }\leq (1-\lambda )f_{0}^{\star }+\lambda f_{1}^{\star }$ 成立。