九點圓
九點圓定理指出:在平面中,對所有三角形,其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點,必然共圓,這個圓被稱為九點圓,又稱歐拉圓、費爾巴哈圓。
九點圓具有以下性質:
1765年,萊昂哈德·歐拉證明:「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓(六點圓)。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列(1821年)。1822年,卡爾·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓,並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」,因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓,並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬(Shigetaka Ooue)[1]分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓,此結果還可推廣到n邊形。
如圖:
、
、
為三邊的中點,
、
、
為垂足,
、
、
為和頂點到垂心的三條線段的中點。
- 容易得出
、
(
相似)
- 因此

- 同樣可得出
、
(
相似)
- 因此

- 又
,可得出四邊形
是矩形(四點共圓)
- 同理可證
也是矩形(
共圓)
,因此可知
也在圓上(圓周角相等)
- 同理可證
、
兩點也在圓上(九點共圓)
九點圓的半徑是外接圓的一半,且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
- 在直角坐標系中,已知圓的方程為
,其中
為圓的半徑,
為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點
的中點的軌跡,則此軌跡的方程式為:

- 設
為外接圓的半徑、
為外接圓的圓心坐標、點
為垂心坐標。
- 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點,故此軌跡圓就是九點圓,半徑是外接圓的一半,且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
- 同時還可以得出下面的性質:
- 圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。由此可知,給定三角形頂點座標,九點圓圓心為
- 圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。
- 垂心四面體的12點共球九點圓是垂心四面體各棱的中點和垂足(相對於對棱)共球的特例,兩者是同構的
- 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
- 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
- 三線坐標中,九點圓的座標為
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- 三線坐標中,費爾巴哈點的座標為
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