超前-滞后补偿器

超前-滞后补偿器（Lead–lag compensator）是控制系统中的一个元件，可以改善回授或是控制系统中不理想的频率响应，是经典控制理论中的一个基本元件。

应用

超前-滞后补偿器可以应用在机器人、卫星控制、汽车诊断、雷射频率补偿等应用中，是类比控制系统及数位控制系统中的一个重要元件。

若给定待控制系统，可以用补偿器来达到较理想的性能规格。P（比例）控制器、I（积分）控制器、D（微分）控制器、PI控制器、PD控制器及PID控制器都可以用来改善系统的特性（例如减小稳态误差、共振峰值、或上升时间等）。利用补偿器也可以达到类似的效果。

理论

超前补偿器及滞后补偿器都会在开回路传递函数中增加极点-零点对，超前补偿器及滞后补偿器在s域下的的传递函数如下：

{\frac {Y}{X}}={\frac {s-z}{s-p}}

其中

X为补偿器的输入

Y为输出

s为复数的拉普拉斯变换变数

z为零点频率

p为极点频率

一般而言零点及极点都会有负的实部，也就是在复平面上的左半平面。若是超前补偿器， $|z|<|p|$ ，其相位为超前的，若是滞后补偿器 $|z|>|p|$ ，其相位为落后。

超前-滞后补偿器是由一个超前补偿器和滞后补偿器串接而得。整体的传递函数如下

{\frac {Y}{X}}={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})}{(s-p_{1})(s-p_{2})}}.

一般而言 $|p_{1}|>|z_{1}|>|z_{2}|>|p_{2}|$ ，其中z₁ 和 p₁ 是超前补偿器的零点及极点，而z₂ 和p₂ 是滞后补偿器的的零点及极点。一般超前补偿器是在高频时提供领先的相位。因此会将极点往左边移动，加强系统的稳定性及加快响应。滞后补偿器在低频时提供滞后的相位，以减少稳态误差。

准确的零点及极点位置需视闭回路响应的希望特性以及待控制系统的特性而定。不过滞后补偿器的零点及极点需要靠近一些，以避免让极点右移，会让反应变慢甚至不稳定。因为滞后补偿器的主要目的是要调整低频的特性，因此其零点与极点也需要靠近原点。

实现

类比及数位的控制系统都可以加上超前-滞后补偿器，实现的方式不同，但其背后的原理都是一样的。其传递函数已经过调整，以和输入有关的项的和，以及输入及输出的积分项的和组成

Y=X-(z_{1}+z_{2}){\frac {X}{s}}+z_{1}z_{2}{\frac {X}{s^{2}}}+(p_{1}+p_{2}){\frac {Y}{s}}-p_{1}p_{2}{\frac {Y}{s^{2}}}.

在类比控制系统中，积分器很贵，因此会设法减少需要用到的积分器：

Y=X+{\frac {1}{s}}\left((p_{1}+p_{2})Y-(z_{1}+z_{2})X+{\frac {1}{s}}(z_{1}z_{2}X-p_{1}p_{2}Y)\right).

在类比控制系统中，控制信号一般会是电压或是电流（不过也可以是液压压力等）。在电子式的类比控制系统中，超前-滞后补偿器是由运算放大器的网路组合成积分器或是加权和电路的组合。若是数位控制系统，运算是用数位方式来进行。

用积分方程表示传递函数的原因是信号的微分常会将其杂讯放大，而积分信号可以减少杂讯的影响。以数值运算的角度而言，用积分器来实现是最稳定的。

直觉的解释

若要设计超前-滞后补偿器，工程师需考虑系统要改善的部份是否可分类为超前补偿器、滞后补偿器或是两者的组合（超前-滞后补偿器）。输入信号的电子响应可以用网路的拉氏变换表示，也就是复数的函数，可以以二个方式来表示。复数函数 $F(x)$ 可以以下式表示 $F(x)=A(x)+iB(x)$ ，其中 $A(x)$ 为函数的实部，而 $B(x)$ 为函数的虚部。

网路的“相角”是 $F(x)$ 的辐角，在左半平面为 $\tan ^{-1}(B(x)/A(x))$ 。若在所有的正负频率下，辐角均为负值，则网路为“滞后补偿器”，所有的正负频率下，辐角均为正值，则网路为“超前补偿器”。若在所有的正负频率下，辐角有正值也有负值，则网路为“超前-滞后补偿器”。

参考资料

Nise, Norman S. (2004); Control Systems Engineering (4 ed.); Wiley & Sons; ISBN 0-471-44577-0
Horowitz, P. & Hill, W. (2001); The Art of Electronics (2 ed.); Cambridge University Press; ISBN 0-521-37095-7
Cathey, J.J. (1988); Electronic Devices and Circuits (Schaum's Outlines Series); McGraw-Hill ISBN 0-07-010274-0

外部链接

Matlab Control Tutorials: lead and lag compensators （页面存档备份，存于互联网档案馆）
lead controller using Matlab
Lead-Lag Frequency Response at MathPages
Lead-Lag Algorithms at MathPages

应用

理论

实现

直觉的解释

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