在数学 和信号处理 中,解析信号 (英语:analytic signal )是没有负频率 分量的复值函数。[ 1] 解析信号的实部和虚部是由希尔伯特转换 相关联的实值函数。
实值 函数的解析表示 是解析信号 ,包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是,由于频谱的埃尔米特对称 ,实值函数的傅里叶变换 (或频谱 )的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话,这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解,并促进了调制和解调技术的衍生,如单边带。只要操作的函数没有负频率分量(也就是它仍是“解析函数”),从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量 概念的一个推广:[ 2] 向量限制在时不变的振幅、相位和频率,解析信号允许有时变参数。
创建一个解析信号的传递函数
若
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
是一个实值 函数,其傅里叶变换为
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
,
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
为一于
f
=
0
{\displaystyle f=0}
埃尔米特 对称之函数:
S
(
−
f
)
=
S
(
f
)
∗
,
{\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}
其中,
S
(
f
)
∗
{\displaystyle S(f)^{*}}
为
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
的复共轭 。
函数:
S
a
(
f
)
=
d
e
f
{
2
S
(
f
)
,
for
f
>
0
,
S
(
f
)
,
for
f
=
0
,
0
,
for
f
<
0
=
2
u
(
f
)
⏟
1
+
sgn
(
f
)
S
(
f
)
=
S
(
f
)
+
sgn
(
f
)
S
(
f
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}}
其中:
u
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {u} (f)}
是单位阶跃函数 ,
sgn
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(f)}
是符号函数 ,
仅包含
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
的非负频率 分量。而且由于
S
(
f
)
{\displaystyle S(f)}
的埃尔米特对称性,该运算是可逆的:
S
(
f
)
=
{
1
2
S
a
(
f
)
,
for
f
>
0
,
S
a
(
f
)
,
for
f
=
0
,
1
2
S
a
(
−
f
)
∗
,
for
f
<
0
(Hermitian symmetry)
=
1
2
[
S
a
(
f
)
+
S
a
(
−
f
)
∗
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
的解析信号 是
S
a
(
f
)
{\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}
的傅里叶逆变换:
s
a
(
t
)
=
d
e
f
F
−
1
[
S
a
(
f
)
]
=
F
−
1
[
S
(
f
)
+
sgn
(
f
)
⋅
S
(
f
)
]
=
F
−
1
{
S
(
f
)
}
⏟
s
(
t
)
+
F
−
1
{
sgn
(
f
)
}
⏟
j
1
π
t
∗
F
−
1
{
S
(
f
)
}
⏟
s
(
t
)
⏞
c
o
n
v
o
l
u
t
i
o
n
=
s
(
t
)
+
j
[
1
π
t
∗
s
(
t
)
]
⏟
H
[
s
(
t
)
]
=
s
(
t
)
+
j
s
^
(
t
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}}
其中
s
^
(
t
)
=
d
e
f
H
[
s
(
t
)
]
{\displaystyle {\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}
是
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
的希尔伯特转换 ;
∗
{\displaystyle *}
是卷积 符号;
j
{\displaystyle j}
是虚数单位 。
s
(
t
)
=
cos
(
ω
t
)
,
{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}
其中
ω
>
0.
{\displaystyle \omega >0.}
于是:
s
^
(
t
)
=
cos
(
ω
t
−
π
/
2
)
=
sin
(
ω
t
)
,
{\displaystyle {\hat {s}}(t)=\cos(\omega t-\pi /2)=\sin(\omega t),}
s
a
(
t
)
=
s
(
t
)
+
j
s
^
(
t
)
=
cos
(
ω
t
)
+
j
sin
(
ω
t
)
=
e
j
ω
t
.
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.}
第三个等式为欧拉公式 。
欧拉公式 的一个推论是
cos
(
ω
t
)
=
1
2
(
e
j
ω
t
+
e
j
(
−
ω
)
t
)
.
{\displaystyle \cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}).}
一般来说,简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它,丢弃负频率 分量,并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。
这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。
s
(
t
)
=
cos
(
ω
t
+
θ
)
=
1
2
(
e
j
(
ω
t
+
θ
)
+
e
−
j
(
ω
t
+
θ
)
)
{\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\tfrac {1}{2}}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )})}
于是:
s
a
(
t
)
=
{
e
j
(
ω
t
+
θ
)
=
e
j
|
ω
|
t
⋅
e
j
θ
,
if
ω
>
0
,
e
−
j
(
ω
t
+
θ
)
=
e
j
|
ω
|
t
⋅
e
−
j
θ
,
if
ω
<
0.
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}
这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到,对于复值函数
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
,没有什么能阻止我们计算
s
a
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}
。但它可能不是一种可逆的表示,因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外,一般讨论都假设
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
为实值函数。
s
(
t
)
=
e
−
j
ω
t
{\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}
, 其中
ω
>
0
{\displaystyle \omega >0}
.
于是:
s
^
(
t
)
=
j
e
−
j
ω
t
,
{\displaystyle {\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},}
s
a
(
t
)
=
e
−
j
ω
t
+
j
2
e
−
j
ω
t
=
e
−
j
ω
t
−
e
−
j
ω
t
=
0.
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.}
由于
s
(
t
)
=
Re
[
s
a
(
t
)
]
{\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}
,恢复负频率分量就是简简单单丢弃
Im
[
s
a
(
t
)
]
{\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}
这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭
s
a
∗
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}
仅 由负频率分量构成。因此
Re
[
s
a
∗
(
t
)
]
{\displaystyle \operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}
恢复了被减弱的正频率分量。
一个函数(蓝色)和它的解析表示的模(红),显示出包络现象。
解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位(极坐标 ):
s
a
(
t
)
=
s
m
(
t
)
e
j
ϕ
(
t
)
,
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}
其中:
s
m
(
t
)
=
d
e
f
|
s
a
(
t
)
|
{\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}|s_{\mathrm {a} }(t)|}
称作瞬时振幅 或包络 ;
ϕ
(
t
)
=
d
e
f
arg
[
s
a
(
t
)
]
{\displaystyle \phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}
称作瞬时相位 。
在附图中,蓝色曲线描绘
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
,红色曲线描绘对应的
s
m
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}
。
解缠的 瞬时相位的时间导数的单位为rad/s,称作瞬时角频率 :
ω
(
t
)
=
d
e
f
d
ϕ
d
t
(
t
)
.
{\displaystyle \omega (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {d\phi }{dt}}(t).}
因此,瞬时频率 (单位赫兹 )为:
f
(
t
)
=
d
e
f
1
2
π
ω
(
t
)
.
{\displaystyle f(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}
[ 3]
瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号 的解调有关。极坐标方便将振幅调变 和相位(或频率)调制的影响分开,对解调某些种类的信号很有效。
解析信号通常都会在频率上移位(下转换)到 0 Hz,可能会产生[非对称]负频率分量:
s
a
_
(
t
)
=
d
e
f
s
a
(
t
)
e
−
j
ω
0
t
=
s
m
(
t
)
e
j
(
ϕ
(
t
)
−
ω
0
t
)
,
{\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}
其中
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
是任意参考角频率。[ 2]
这个函数有不同的名称,如复包络 和复基带 。复包络不是唯一的;它是由
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
的选取决定的。这个概念通常用于处理带通信号 。如果
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
是调制信号,
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
可能会等于它的载波频率 。
在其他情况下,
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器 就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率,从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说,下转换的信号仍然是解析信号 。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混叠 可能需要上转换,若信号已被(离散时间)采样 ,还可能需要插值 (升采样 )。
若选取的
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
大于
s
a
(
t
)
{\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}
的最高频率,则
s
a
_
(
t
)
{\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t)}
没有正频率。在这种情况下,提取实部并恢复它们,但顺序要相反;低频分量现在变为高频分量,反之亦然。这可用于解调一种叫做下边带 的单边带 信号。
参考频率的其他选择:
有时
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
的选取是要最小化
∫
0
+
∞
(
ω
−
ω
0
)
2
|
S
a
(
ω
)
|
2
d
ω
.
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}
另外,[ 4]
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
选取还可以是要最小化线性逼近解缠的 瞬时相位
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
的均方误差:
∫
−
∞
+
∞
[
ω
(
t
)
−
ω
0
]
2
|
s
a
(
t
)
|
2
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}
再或者(对最佳
θ
{\displaystyle \theta }
):
∫
−
∞
+
∞
[
ϕ
(
t
)
−
(
ω
0
t
+
θ
)
]
2
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}
在信号处理领域,维格纳–威利分布 定义中需要解析信号,因此该方法在实际应用中具有理想特性。[ 5]
有时复包络与复振幅 同义;[ a] [ b]
其他时候它作为一种时间无关的推广形式。[ c] 它们的关系并不像实值的情形那样;变化的包络 产生恒定的振幅 。
^ "the complex envelope (or complex amplitude)"[ 6]
^ "the complex envelope (or complex amplitude)", p.586 [ 7]
^ "Complex envelope is an extended interpretation of complex amplitude as a function of time." p.85[ 8]
^ ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8 . Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III
Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )[7/16/2014 1:07:57 PM]
^ 跳转到: 2.0 2.1 Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications . McGraw-Hill, 1965. p269
^ B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992
^ Justice, J. Analytic signal processing in music computation . IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684 [2016-08-05 ] . ISSN 0096-3518 . doi:10.1109/TASSP.1979.1163321 . (原始内容存档 于2014-10-20).
^ B. Boashash, “Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis”, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987
^ Hlawatsch, Franz; Auger, François. Time-Frequency Analysis . John Wiley & Sons. 2013-03-01. ISBN 9781118623831 (英语) .
^ Driggers, Ronald G. Encyclopedia of Optical Engineering: Abe-Las, pages 1-1024 . CRC Press. 2003-01-01 [2016-08-05 ] . ISBN 9780824742508 . (原始内容存档 于2014-10-21) (英语) .
^ Okamoto, Kenʼichi. Global Environment Remote Sensing . IOS Press. 2001-01-01. ISBN 9781586031015 (英语) .
Leon Cohen, Time-frequency analysis , Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
Frederick W. King, Hilbert Transforms , vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference , Elsevier Science, Oxford, 2003.