补数

补数（complement）是对于给定的进位制，相加后能使自然数 a 的位数增加 1 的最小的数。可以在计算电路中，代替减 $x$ 的操作，而仅仅使用加法器元件（加法器）的“加上 $x$ 的补数（无视最高位的进位）”，达到相同的效果。

定义

设b 进制表示自然数 a 至少需要 n 位数字，规定

$b^{n}-a$ 是 “b 进制数 a 的关于基数的补数（b 的补数）”
$b^{n}-a-1$ 是“b 进制数 a 的关于减基数的补数（b - 1 的补数，简称减补数、侪补数）”。

例如，十进制自然数 61 关于基数 10 的补数是 $10^{2}-61=39$ 。二进制自然数 $10010_{2}(=18_{10})$ 关于基数 2 的补数是 $2^{5}-18=1110_{2}(=14_{10})$ 。

由定义可以得出，a 的基数的补数 加上 a，可以得到位数多一位的最小的自然数（ $=b^{n}$ ）。a 的减基数的补数 加上 a ，可以得到位数不增加的最大的自然数（ $=b^{n}-1$ ）。

基数 b 在上下文中明确的时候，“在b 进制中”的描述通常被省略。

但是，在基数不明确的情况下，“ $\beta$ 的补数”表示的可以是 $(\beta +1)$ 进制的减基数的补数，也可是 $\beta$ 进制的基数的补数，从而产生歧义（这两者的值不一定是相等的）。例如，仅仅说“9的补数”，无法确定指的是“10进制中的减基数的补数”还是“9进制中的基数的补数”。

在英文中，十进制的基数的补数记为 ten's complement，减基数的补数称为 nines' complement。二进制中，基数的补数称为 two's complement，减基数的补数称为 ones' complement。其他进制也有类似的称法。一些人，如高德纳，建议采用撇号区分。这样，four's complement指的是四进制中的基数的补数。而fours' complement指的是五进制中的减基数的补数。但是，这并不是普遍的做法，而且在几乎所有情况下进制是明确的。多数作者写做 one's和nine's complement，一些格式手册建议采用 ones和nines complement，不采用撇号。

计算方法

对于N进制的自然数a，从个位开始的各位数字

a_{0},a_{1},...,a_{r-1},a_{r}

规定 $a_{r}$ 不能为0。规定 $b_{i}$ 的各位为：

b_i = (N + 1) + a_i

这时，N进制形如的

a_{0},a_{1},...,a_{r-1},a_{r}

数 $b$ 即称为“ $a$ 的关于 $(N+1)$ 的补数”。

10进制的举例

求十进制数 2304671 的补数。由于 9 = 2 + 7 = 3 + 6 = 0 + 9 = 4 + 5 = 6 + 3 = 7 + 2 = 1 + 8 ，令N=9时，自然数2304671对应的补数为 7695328 。 7695328 + 1 = 7695329 ，因此N=10时，自然数2304671对应的补数是 7695329。

2进制的举例

二进制中有 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1，求1的补数只需简单地将0与1相互替换。（位操作中的逻辑非运算）。

求二补数（即补码），只需要将1的补数加1。

二进制的 101010110 对应的1的补数是 010101001。
2 的补数是 010101001 + 1 = 010101010。

参考文献

JIS X 0005:2002 情报処理用语（データの表现） 05.08

Donald E. Knuth ‘The Art of Computer Programming Vol. 2 Seminumerical Algorithms Third Ed. 日本语版’ アスキー、2004年、191页。 (ISBN 4-7561-4543-4)

定义

计算方法

10进制的举例

2进制的举例

参考文献

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