线性变参数控制

线性变参数控制（LPV control）是一种用于处理线性变参数系统的控制方法。

增益规划

在为动态系统设计反馈控制器时，人们应用了众多种类的现代，多变量控制的控制器。通常来讲，这些控制器经常设计在系统动态的不同操作点上，并且使用了线性化的模型，并且被设计为一个或者多个参数在中间状态上的函数。这是一种可以在非线性系统上使用一类线性控制器的方法，并且这些线性控制器中每个都可以在不同的操作点上获得令人满意的控制效果。调度变量是一个或者多个可以观测的变量。人们使用调度变量来确定系统当前的操作点和合适当前使用的控制器。比如在飞行器的控制中，一系列的控制器被设计在由攻角，马赫数，动压与重心张成网格的不同位置上。简单来说，增益规划是通过整合一系列线性控制器来为非线性系统设计非线性控制器的方法。这些线性系统实时的通过切换或者插值的方法混合。

对多变量的控制器进行规划有时候是一个乏味且费时的工作。而新的方法是使用线性变参数技术来对自动规划的多变量控制器进行整合。

经典增益规划方法的缺点

• 增益规划有个重大的缺点：在设计操作点外的操作条件，不一定可以获得足够的性能，甚至有些连稳定性都无法保证。
• 多变量控制器的规划常常是乏味且费时的工作，尤其是在航空航天的控制中更是如此。在航空航天中，为了在更高的气动包线上获得更好的性能，参数的改变十分巨大。
• 另一点很重要的是，选定的规划变数反映了在飞行条件变化时，飞行动力学上的变化，有可能利用增益规划将线性鲁棒控制的方法论整合到非线性控制设计中，不过设计过程不会明确的提到全域稳定性、鲁棒性以及其性能特性。

增益规划的方式很简单，而且线性化增益规划的计算量远小于其他的非线性设计方式，不过其先天的缺点超过其优点，因此需要一个动态系统控制的新作法。像以人工神经网络（ANN）及模糊逻辑为基础的适应控制试图要解决这些问题，不过因为缺乏针对整个操作参数范围内，租定性以及性能的证明，因此需要一种可以确保其特性的，和参数相关的控制器。

线性变参数系统

线性变参数系统（LPV）是很特殊的非线性系统，其系统特性很适合用参数的变化来表示。一般而言，LPV技巧可以提供增益规划多变数系统的系统化作法。此方式可以允许在单一架构内整合性能、强健性及带宽限制，以下是线性变参数系统的简介，以及其术语的说明。

参数相依系统

在控制工程中，状态空间表示法是物理系统的数学模型，由有许多输入$u$、输出$y$、状态变数$x$的一阶微分方程所组成。一个非线性、非自主系统的动态演进可以由下式表示

${\dot {x}}=f(x,u,t)$

若系统是时变系统，则

${\dot {x}}=f(x(t),u(t),t),x(t_{0})$

$x(t_{0})=x_{0},u(t_{0})=u_{0}$

状态变数描述动力系统的数学状态，在针对大而复杂的非线性系统建模时，若因为简化系统及实务考量而选了一些变数来描述系统状态，模式中可能不会包括一些系统的动态。状态空间表示方程中可能会包括一些变数（称为外源性变数），这些变数的动态可能还不清楚，或是太复杂无法建模，但是确定这些会以一些已知的方程影响状态变数的变化，而且可以用传感器实时量测到这些讯号。 若实际系统使用了一些传感器来实际量测讯号，这些讯号是模型状态及时间的非线性函数，另外也有些外源性变数的准确估测值。因此这个系统会是一个时变的非线性系统，不知道未来时间的变化，但可以用感测器实时量测。 在此例中，若 $w(t)$ 是外源性变数向量，且$x(t)$为建模的状态，则状态方程可以写成下式：

${\dot {x}}=f(x(t),w(t),{\dot {w}}(t),u(t))$

参数$w$未知，但可以实时量测，且用在控制系统中。若上述参数相依系统对时间线性，则称为线性参数相依系统。虽然其中有时变的参数，不过仍可以写成类似线性时不变系统的型式

${\dot {x}}=A(w(t))x(t)+B(w(t))u(t)$

$y=C(w(t))x(t)+D(w(t))u(t)$

参数相依系统是线性系统，其状态空间描述是时变参数的已知函数。这些参数随著时间的变化无法事先预测，但假设是在实时系统中可量测的数据。控制器受限成为一线性系统，其状态空间的进入点和参数的历史之间有因果关系。有三种不同的设计:线性变参数控制的方法。

1. 线性分数转换，主要是小增益定理来找性能及强健性的范围。
2. 单一二次李亚普诺夫函数（SQLF）
3. 参数相依二次李亚普诺夫函数（PDQLF），限制其可达到的性能水准。

这些问题的解法是重新将控制设计转换为有限维凸函数的可行性问题（可以有准确的结果），若是无限维的可行性问题，可以用近似的方式求解。 此公式建构了一种新的增益规划问题，此方式是考虑在确保稳定性及性能的前提下，参数变异的影响。

延伸阅读

• Briat, Corentin. Linear Parameter-Varying and Time-Delay Systems - Analysis, Observation, Filtering & Control. Springer Verlag Heidelberg. 2015. ISBN 978-3-662-44049-0. 
• Roland, Toth. Modeling and Identification of Linear Parameter-Varying Systems. Springer Verlag Heidelberg. 2010. ISBN 978-3-642-13812-6. 
• Javad, Mohammadpour; Carsten, W. Scherer (编). Control of Linear Parameter Varying Systems with Applications. Springer Verlag New York. 2012. ISBN 978-1-4614-1833-7.