测度空间是测度论的基本概念,可以看做是面积概念的推广,由一个基本的集合 以及基于这集合的某些子集合所构成的一个新的集合 ,这新集合会满足 σ-代数的性质,直觉的讲,对 中的元素我们都可以用某种方法去“测量”其大小、面积或机率等,其真正意义要看所在空间 来决定。和一个定义在 上满足某些特别性质的(非负)函数 ,也就是测度,测度空间就由这三部分,,所构成。测度空间的一个实例是概率空间。
可测度空间(measurable space)包含前两部分但不含测度。
一个测度空间包含三部分资讯 ,且满足下列条件:[1][2]
- 为非空集合
- 为 上的一个 σ-代数,也就是满足某些条件的 中的一些子集构成的集合。
- 为 上的测度,换句话讲,是一个定义在 上的有特别性质的(非负)函数。
对集合
取
定义
则根据测度的可数可加性, 另根据测度的定义,
则为一个测度空间。
本例中的测度对应于的伯努利分布。