正割

正割

性质
奇偶性	偶
定义域	$\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}$ $\left\{x\in \mathbb {R} \|x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}$
到达域	$\left\|\sec x\right\|\geq 1$
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
当x=0	1
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	$x=\left(2k+1\right){\tfrac {\pi }{2}}$ （ $x=180° k +90°$ ）
根	无实根
临界点	$k\pi$ （ $180° k$ ）
不动点	当x轴为弧度时： -2.07393280909121...^{[注 1]} （-118.827596954637699...°） -4.487669603341...^{[注 2]} （-257.12452812059255...°） 4.9171859252871...^{[注 3]} （281.734000600083215...°） 7.72415319239641...^{[注 4]} （442.5613782368157...°） ... 当x轴为角度时： -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...°
k是一个整数。

正割（Secant， $\sec$ ）是三角函数的一种。它的定义域是不含 $k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}$ （或 $180° k +90°$ ，其中 $k$ 为整数）的整个实数集，值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为 $2\pi$ （360°）。

正割是三角函数的正函数（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在 $2k\pi$ （ $360° k$ ）到 $2k\pi +{\frac {\pi }{2}}$ （ $360° k +90°$ ）的区间之间，函数是递增的，另外正割函数和馀弦函数互为倒数。

在单位圆上，正割函数位于割线上，因此将此函数命名为正割函数。

和其他三角函数一样，正割函数一样可以扩展到复数。

符号史

正割的数学符号为 $\sec$ ，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

直角三角形， $\angle C$ 为直角， $\angle A$ 的角度为 $\theta$ ，对于 $\angle A$ 而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角 $\angle A$ 的正割定义为它的斜边与邻边的比值，也就是：

\sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!

可以发现其定义和馀弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设 $\alpha$ 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的终边上一点， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是P到原点O的距离，则 $\alpha$ 的正割定义为：

\sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角 $\theta$ ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 $\sin \theta$ 。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了 $\sec \theta ={\frac {1}{x}}$ 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 $2\pi$ （360°）或小于 $-2\pi$ （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为 $2\pi$ （360°）的周期函数：

\sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)

对于任何角度 $\theta$ 和任何整数 $k$ 。

与其他函数定义

正割函数和馀弦函数互为倒数

即：^[1]

\sec x={\frac {1}{\cos x}}

级数定义

正割也能使用泰勒级数来定义：

\sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.

其中 $E_{n}$ 为欧拉数。

另外，我们也有

\sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.

微分方程定义

\sec 'x\ =\sec x\tan x

\sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'

指数定义

$\sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,$

恒等式

用其它三角函数来表示正割

函数	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\sec \theta$	${1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${1 \over \cos \theta }$	${\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	${{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }$	$\sec \theta \$	${\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$