小角度近似

在x → 0时一些三角函数的近似值

小角度近似（small-angle approximations）可以在角度以弧度表示，且角度很小的情形下，近似部份三角函数的值：

${\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}$

上述的近似常用在物理学和工程学的各分支学科中，包括力学、电磁学、光学、地图学、天文学和计算机科学。近似的一个理由是可以大幅简化微分方程的计算，可以用在不需要精确解的情形下。

小角度近似可以用许多的方式说明，最直接的是用三角函数的马克劳林级数，依照逼近的阶数不同，$\textstyle \cos \theta$可以近似为$1$或${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.。

理由

绘图

图1和图2可以看出此近似的精度。在角度趋近零时，原始函数和近似函数的差也趋近零。

• 
  图1：基本的奇三角函数的比较，当角度θ趋近0时，近似函数很接近原函数。
• 
  图2：cos θ和1 − θ²/2的比较。当角度θ趋近0时，两函数相当接近。

几何学

右图中红色部份d，是斜边长度H和邻边长度A的差。如图所示，H和A几乎一样长，意思是cos θ接近1，利用θ²/2可以减去红色的部份

$\cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$。

其对边O长度近似于蓝色圆弧的长度s。根据几何学，s = Aθ，根据三角函数，sin θ = O/H和tan θ = O/A，根据图上O ≈ s且H ≈ A可得：

$\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .$

简化后可得

$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .$

微积分

利用夹挤定理，可以证明 ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$这是在小角度θ时，$\sin(\theta )\approx \theta$近似式的正式叙述。

比较小心的应用夹挤定理可得 ${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$，因此可以得到在小角度θ时，$\tan(\theta )\approx \theta$。

最后，利用洛必达法则可得${\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$可以整理为${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$，在小角度θ时成立。也可以用倍角公式$\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$。令$\theta =2A$，可得${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$。

代数

正弦函数的小角度近似

将正弦函数进行马克劳林展开（在零附近的泰勒展开）可得

${\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}$

其中θ是以弧度表示的角度，上式也可以改写如下：

$\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots$

可以看出在θ很小时，第二项（三次方项）会非常小。用θ为0.01为例，第二项的数量级为第一项的 6994100000000000000♠0.000001或1/7004100000000000000♠10000。因此可以单纯的近似为：

$\sin \theta \approx \theta$

另外，因为小角度的馀弦函数接近1，因此正切函数（正弦函数除以馀弦函数）可以表示如下

$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$,

近似的误差

图3：小角度近似的逼近误差

图3是小角度近似的误差，若以误差在1%为准，以下是各近似函数误差超过1%的角度：

• cos θ ≈ 1，约为 0.1408 弧度 (8.07°)
• tan θ ≈ θ，约为 0.1730 弧度 (9.91°)
• sin θ ≈ θ，约为 0.2441 弧度 (13.99°)
• cos θ ≈ 1 − θ²/2，约为 0.6620 弧度 (37.93°)

和角和差角

三角恒等式中的和角公式和差角公式，当其中一个角度很小时（β ≈ 0），可以简化为下式：

cos(α + β)	≈ cos(α) − β sin(α),
cos(α − β)	≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β)	≈ sin(α) + β cos(α),
sin(α − β)	≈ sin(α) − β cos(α).

应用

天文学

在天文学上，天体的角直径多半只有几个角秒，其角度很小，因此可以用小角度近似。线性大小（D）和角直径（X）以及与观察者距离（d）之间有以下的公式：

$D=X{\frac {d}{206\,265}}$

其中X是用角秒表示。

数字7005206265000000000♠206265是圆用角秒表示的值（7006129600000000000♠1296000），除以2π。

精确的公式是

$D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)$

若tan X改为X，上式也适用。

摆的运动

在计算摆的势能时，二次馀弦近似非常的好用，可以应用在拉格朗日力学上，找到运动的间接方程（能量方程）。

在计算摆的频率时，可以用正弦函数的小角度近近，将摆的微分方程转换为简谐运动的微分方程。

光学

在光学上，小角度近似是近轴近似的基础。

波干涉

正弦和正切的小角度近似可以用在双缝实验或衍射光栅中，以简化计算。

结构力学

小角度近似常用在结构力学上，特别是和稳定性和分岔分析上（主要是轴向受压力的柱，是否会产生挫曲的分析）。这部份简化的程度很大。不过不过用在精确的分析上。

导航

空中导航中的1 in 60 rule就是以小角度近似为基础，加上一个弧度近似于60度的事实。

内插

小角度的和角和差角公式可以在三角函数表的插值：

例如：sin(0.755)

sin(0.755)	= sin(0.75 + 0.005)
	≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)
	≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317)	[sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函数表求得]
	≈ 0.6853.

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