取整函数

下取整函数

上取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数（英语：floor function）和上取整函数（ceiling function）。

下取整函数即为取底符号，在数学中一般记作$[x]$或者$\lfloor x\rfloor$或者$E(x)$，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。

$[x]=\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.$

举例来说，$[3.633]=3$，$[56]=56$，$[-2]=-2$，$[-2.263]=-3$。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而$x-[x]$叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号用方括号表示（$[x]$），称作高斯符号，首次出现是在卡尔·弗里德里希·高斯的数学著作《算术研究》。

上取整函数即为取顶符号在数学中一般记作$\lceil x\rceil$，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。

$\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid x\leq n\}.$

举例来说，$\lceil 3.633\rceil =4$，$\lceil 56\rceil =56$，$\lceil -2\rceil =-2$，$\lceil -2.263\rceil =-2$。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling（天花板）和floor（地板），1962年由肯尼斯·艾佛森于《A Programming Language》引入。

性质

对于高斯符号，有如下性质。

• 按定义：

  $[x]\leq x<[x]+1$ 当且仅当x为整数时取等号。

• 设x和n为正整数，则：

  $\left[{\frac {n}{x}}\right]\geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}$

• 当n为正整数时，有：

  $\left\lbrack {\frac {x}{n}}\right\rbrack ={\frac {x-x{\bmod {n}}}{n}},$ 其中$x{\bmod {n}}$表示$x$除以$n$的馀数。

• 对任意的整数k和任意实数x，

  $[{k+x}]=k+[x].$

• 一般的数值修约规则可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；
• 高斯符号不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符号导数为零。
• 设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。
• 当x是正数时，有：

  $\left\lbrack 2x\right\rbrack -2\left\lbrack x\right\rbrack \leqslant 1$

• 用高斯符号可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值，见§ 质数公式。
• 对于非整数的x，高斯符号有如下的傅里叶级数展开：

  $[x]=x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.$

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符号制造出一个整数集的分划。
• 最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有 $[\log _{p}(k)]+1$ 个数位。

函数间之关系

由上下取整函数的定义，可见

$\lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,$

等号当且仅当$x$为整数，即

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

实际上，上取整与下取整函数作用于整数$n$，效果等同恒等函数：

$\lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.$

自变量加负号，相当于将上取整与下取整互换，外面再加负号，即：

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0,\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil ,\\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor .\end{aligned}}$

且：

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\-1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

至于小数部分$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$，自变量取相反数会使小数部分变成关于1的“补数”：

$\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

上取整、下取整、小数部分皆为幂等函数，即函数叠代两次的结果等于自身：

${\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}$

而多个上取整与下取整依次叠代的效果，相当于最内层一个：

${\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor ,\end{aligned}}$

因为外层取整函数实际衹作用在整数上，不带来变化。

商

若$m$和$n$为正整数，且$n\neq 0$，则

$0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.$

若$n$为正整数，则

$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,$

$\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .$

若$m$为正数，则

$n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,$

$n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .$

代$m=2$，上式推出：

$n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .$

更一般地，对正整数$m$，有埃尔米特恒等式：

$\lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,$

$\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .$

对于正整数$m$，以下两式可将上下取整函数互相转化：

$\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,$

$\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.$

对任意正整数$m$和$n$，有：

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},$

作为特例，当$m$和$n$互质时，上式简化为

$\sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).$

此等式可以几何方式证明。又由于右式关于$m$、$n$对称，可得

$\left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .$

更一般地，对正整数$m,n$，有

${\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}$

上式算是一种“互反律”（reciprocity law），与§ 二次互反律有关。

应用

二次互反律

高斯给出二次互反律的第三个证明，经艾森斯坦修改后，有以下两个主要步骤。

设$p$、$q$为互异奇质数，又设

$m={\frac {p-1}{2}},$ $n={\frac {q-1}{2}}.$

首先，利用高斯引理，证明勒让德符号可表示为和式：

$\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },$

同样

$\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.$

其后，采用几何论证，证明

$\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.$

总结上述两步，得

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

此即二次互反律。一些小整数模奇质数$p$的二次特征标，可以高斯符号表示，如：

$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },$

$\left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.$

质数公式

下取整函数出现于若干刻画质数的公式之中。举例，因为$\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor$在$m$整除$n$时等于$1$，否则为$0$，所以正整数$n$为质数当且仅当

$\sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.$

除表示质数的条件外，还可以写出公式使其取值为质数。例如，记第$n$个质数为$p_{n}$，任选一个整数$r>1$，然后定义实数$\alpha$为

$\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.$

则衹用取整、幂、四则运算可以写出质数公式：

$p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .$

类似还有米尔斯常数$\theta =1.3064\ldots$，使

$\left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots$

皆为质数。

若不叠代三次方函数，改为叠代以$2$为㡳的指数函数，亦有$\omega =1.9287800\ldots$使

$\left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots$

皆为质数。

以质数计算函数$\pi (x)$表示小于或等于$x$的质数个数。由威尔逊定理，可知

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .$

又或者，当$n\geq 2$时：

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .$

本小节的公式未有任何实际用途。

其它等式

• 对于所有实数x，有：

$\left\lbrack {\frac {x}{2}}\right\rbrack ={\frac {1}{4}}((-1)^{[x]}-1+2[x])$

$\left\lbrack {\frac {x}{3}}\right\rbrack ={\frac {1}{3}}({\frac {2}{\sqrt {3}}}\sin({\frac {2\pi }{3}}[x]+{\frac {\pi }{3}})-1+[x])$

• 设x为一个实数，n为整数，则

$\sum _{k=0}^{n-1}E(x+{\frac {k}{n}})=E(nx)$

$E({\frac {1}{n}}E(nx))=E(x)$

• 对于两个相反数的高斯符号，有：

如果x为整数，则$E(x)+E(-x)=0$

否则$E(x)+E(-x)=-1$

参考来源

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer. 2001 [2022-02-06]. ISBN 0-387-94777-9. （原始内容存档于2022-04-09）. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading Ma.: Addison-Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition). Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Lemmermeyer, Franz. Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3-540-66957-4. 
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer. 1996. ISBN 0-387-94457-5. 

另见

截尾函数