数学上,分数微积分(fractional calculus)是数学分析的一个分支,它研究微分算子
和积分算子J的实数次幂的可能应用(通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆)。
在这个上下文中,幂指反复应用,和

中的平方意义相同。例如,可以提出如何解释如下符号的问题

作为微分算子的平方根(半次操作),也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。
更一般的,

对于实数值的n,使得当n为整数时,若n>0,它等同于通常的幂n次操作,当n<0,它等同于n次积分J。
讨论这个问题有几个原因。一个是,这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究,有一个有趣的理论。注意,分数是个错误的记号,因为指数可以取非有理数,但是分数微积分已成为习惯用法。
在应用数学与数学分析中,一个分数阶的导数是一个可以为任意阶实数或是复数的导数。这个概念第一次出现在1695年,莱布尼兹写给洛必达的书信中。分数微积分则是第一次被介绍在阿贝尔的早期论文中,其中关于各种分数阶的积分与微分的概念、微分与积分的关系、关于分数阶的微分与积分其实都可以被视作一种广义算子,以及统一关于实数阶微分与积分的概念。该主题的基础由刘维尔(Liouville)在1832年的论文中独立奠定的,奥利弗·黑维塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分数微分算子在电力传输分析中。分数微积分的理论与应用在19世纪跟20世纪中得到发展,许多贡献者都给出了分数阶导数与积分的定义。
一个很自然的想法是问,是否存在一个算子
起到半导数的作用,即使得:

结论是:这样的算子是存在的,对于任意
,存在一个算子
,满足:
,
或者换一个说法,
的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n.
在这里我们引入Γ函数将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函数的定义如下:
,
假设对函数
在0到x上求积分,我们可以形式的定义积分算子J:

重复这个过程,可得:
,
这个过程可以任意的重复下去。
利用重复积分的柯西公式,即:

我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。
直接利用
函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式

这个算子定义明确而且具有良好的性质。
可以证明J算子满足如下关系

这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难,而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。
函数
(蓝色线条)的半导数(紫色线条)以及一阶导数(红色线条)
这个动画展示了不同分数微分算子如何操作在y=x(蓝色),结果(绿色)在一般的积分(α=−1: y=x2/2,紫色)及一般的一次微分(α=+1: y=1,红色)间连续变化。
假设有一个函数
。它的一阶导数一般是:
。重复这一过程,得到更一般的结果:
,将阶乘用伽玛函数替换,可得:
。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数
的半导数:
。重复这一过程,得:
,这正是期望的结果:
。
以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子,
阶导数作用后,
阶导数再作用,可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。
分数微分可以得到上述相同的结果(当
)。

对于任意的
,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义,需要在分数微分前先进行整数微分。例如

我们可以借由拉普拉斯变换提出一个问题。已知
以及
然后继续下去,我们可以推断:
举例来说:
如同预期一样。的确,我们给出卷积性质。
然后为了方便,令 p(x) = xα − 1 ,我们发现到:
即得到柯西所给出的样子。
拉普拉斯在一些较少的函数上有效,但是它在解分数微分方程上却非常有用。
WKB近似
对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时,系统哈密顿量
中
的倒数
可由对态密度的半阶微分求出

这里采用了自然单位制,即
[1]