数学中,特别是代数拓扑中,艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。
令G为群,n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群
若同构于G、其他同伦群都平凡,则称X是
型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在
时是阿贝尔群,则
型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在,且都是弱同伦等价的。因此,可以认为
指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个
”或“
的模型”,此外通常假定这空间是CW复形(通过CW近似总是可能的)。
艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩,他们在1940年代末引入了此类空间。
因此,艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间,在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要,如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。
广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间
的拓扑积的同伦类的空间。
- 单位圆
是
。
- 无穷维复射影空间
是
的模型。
- 无穷维实射影空间
是
。
- k个单位圆的楔和
是
,其中
是k个生成子上的自由群。
- 3维球
中任何连通结或图的补是
型,这种现象被称作“结的非球面性”,是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。[1]
- 紧连通曲率非正流形M是
,其中
是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
- 无限透镜空间
由
对自由作用
(
)的商给出,是
。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。[2]注意这包括作为
的
。
- 平面上n个点的构型空间是
,其中
是n股上的纯辫群。
- 相应地,
的第n无序构型空间是
,其中
表示n股辫群。[3]
- n球的无穷对称积
是
。更一般地,
对所有摩尔空间
是
。
利用积
是
的事实,可构造出更多基本例子,例如n维环面
是
。
对
、任意群G,
的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元(torsion element),则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。
构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术,如为阿贝尔群A构造摩尔空间
:取n个球的楔,每个球代表一个A的生成子,并通过上述楔和的
中相应映射附加(n+1)个胞腔(cell),实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群
由构造是平凡的。现在通过附加大于
维的胞腔,迭代杀死所有高阶同伦群
,并定义
为包含此迭代的直极限。
另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。[4]这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。
乔·彼得·梅的书[5]从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。
由于闭路空间将同伦群降低了一圈(slot),我们有规范同伦等价
,因此有纤维化序列
.
注意这不是上纤维化序列:空间
不是
的同伦上纤维。
这个纤维化序列可用于从
用勒雷谱序列研究
的上同调,让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。
的一个重要性质是,对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X,X到
的基映射的基同伦类集
,同空间X的第n奇异上同调群
是自然双射。因此可以说
是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc48b95fd633de977b6be0020077d5a93806df6)
有一个区别元素
,对应幺元。上述双射由元素的拉回
给出,这与范畴论中的米田引理很相似。
此定理的构造性证明可见参考文献[6],另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献[7],主要思想也将在后面略述。
艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间:
。此外,在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系:
,使
有阿贝尔群的结构,其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射
是群同构。
这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱,称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过
定义了基于CW复形的既约上同调论,对任何CW复形上的既约上同调论
(
,
),有自然同构
,其中
表示既约奇异上同调。因此,这两个上同调论重合。
在更广义的语境中,布朗可表性定理指出,基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。
对给定阿贝尔群G,有稳定同伦群
![{\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56efcabd68f27a034c95954238ab0b107d0beda)
上由映射
导出的映射。取它们的直极限,可验证这在CW复形上定义了既约同调论
![{\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13a11031dac3c3804d32184bb5105816bf44279)
由于
(
)为零,
与CW复形上系数在G中的既约奇异同调
一致。
从上同调的万有系数定理可以看出,艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子,即对每个正整数n,若
是阿贝尔群的任何同态,则有非空集
![{\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0b18528349d37b720a431135ed7680958083c8)
满足
其中
表示连续映射f、
的同伦类。
连通CW复形X都有波斯尼科夫塔,即空间的逆系:
![{\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ab39bc2238b4d5472849d5ad4f5a19e7534e7e)
使对每个n都有:
- 有交换映射
,导出
(
)上的同态;
(
);
- 映射
是具有纤维
的纤维化。
对偶地,还有怀特海塔,是CW复形的序列:
![{\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3458ffd2bdb104e2a966d5f155a567ec3fef5189)
使对每个n都有:
- 映射
导出
(
)上的同态;
是n连通的;
- 映射
是具有纤维
的纤维化。
在塞尔谱序列的帮助下,可计算出球面的高阶同伦群。例如,
、
用
的怀特海塔,可见参考文献[8];更一般地说,使用波斯尼科夫系统的
可见参考文献。 [9]
对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ,存在所有上同调运算集
与
之间的双射,定义为
(
是基本类)。
因此,上同调运算不能降低同调群的度,保度上同调运算对应系数同态
。这源于上同调的万有系数定理与
的(n-1)连通性。
是有限循环群时,上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时,系数在
中的
的上同调变得非常重要,[10]有关这些组别的详细列表,请参此处。[11]
可以定义群G的系数在群A中的(上)同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间
的奇异(上)同调,系数在A中。
上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等,如由短正合列
![{\displaystyle 0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e77717623d379ba0e230256ec14d9cc68e7a5b8)
产生的怀特海塔,其中
是弦群,
是旋量群。
的相关性在于存在分类空间
(且
)的同伦等价关系
![{\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b07b405399775e474aab8d4c11dd8ebd6fafd5f)
注意,由于复旋量群是群扩张
,
弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张,因为空间
就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群
的广群
的拓扑实现。由于这些同伦性质,这个构造可以推广:任何给定空间
都可以用来启动一个短正合列,可在拓扑群中去除同伦群
。
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嘉当研讨会(Cartan seminar)包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果,包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。