极大环面

在数学的紧李群及约化代数群理论中，极大子环是其中一类特别的子群，在这些群的分类及表示理论中扮演要角。

紧李群

李群$G$中的子环（面）是一个连通紧阿贝尔李子群，这类子群必然同构于环面$T^{n}$。极大环面是其中维度最大者。非紧子群未必有极大环面（例如$\mathbb {R} ^{n}$）。

对于紧李群，极大子环对应到李代数中的极大阿贝尔子代数。任意子环皆包含于某个极大子环，任两个极大子环彼此共轭。极大子环的维度称为该群的秩。

约化群

设$G$为$S$上的群概形，若存在平展拓扑中的覆盖$S'\to S$，使得$G_{S'}:=G\times _{S}S'$同构于$\mathbb {G} _{m,S'}:=\mathbb {G} _{m}\times S'$，其中$\mathbb {G} _{m}:=\mathrm {Spec} \mathbb {Z} [T,T^{-1}]$配上自然的群结构，则称$G$是环面。若$G\simeq \mathbb {G} _{m,S}$，称$G$为可对角化或子环（面）。

今设$G\to S$为平滑仿射态射。较常见的情形是$S=\mathrm {Spec} K$，其中$K$是域。此时极大子环的定义同于李群。对于一般的基$S$，子群概形$T\subset G$是极大子环意谓著：对每个几何点${\bar {s}}\to S$，其几何纤维$T_{\bar {s}}\to G_{\bar {s}}$是前述意义下的极大子环。在平展拓扑下，极大子环“局部上”两两共轭。

对于可简约$S$-代数群$G$，极大子环对$S$局部上存在。透过极大子环，可以定义根资料，继而开展约化群的分类理论。

文献

• Anthony W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction（2004）, Birkhäuser. ISBN 0817642595 .
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, xv+564.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 2 (Lecture notes in mathematics 152) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, ix+654.
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds.（1970）. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes -（SGA 3） - vol. 3 (Lecture notes in mathematics 153) (in French). Berlin; New York: Springer-Verlag, vii+529.