在概率论中,朗道分布(英语:Landau distribution)[1]是因物理学家列夫·朗道而得名的一种概率分布。由于它所具有的“长尾”现象,这种分布的各阶矩(如数学期望与方差)都因发散而无法定义。这种分布是稳定分布的一个特例。
标准朗道分布的概率密度函数由以下复积分式表示,
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b51af0fb929a3ab5aef725484822e76c3b0593)
其中c为任意正实数,log 为自然对数。可以证明,上式结果与c的取值无关。在复平面上做围道积分,可得到便于计算的实积分式,
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b70fc805be98dc386ad07285d08b41ce1b28104)
上式即
的标准朗道分布概率密度函数。通过将标准朗道分布扩展到一个位置-尺度分布族,就可以获得完整的朗道分布族
![{\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9681673a9f732d762ad6a1a54a643cc397995b5c)
其特征函数可表示如下,
![{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \!\left(i\mu t-c|t|-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e3daa1749d3fcacd8f6d9f20c9689d1935039b)
两个实参数的取值范围
,
,调整
分别实现朗道分布的平移和缩放[2]。
朗道分布在
的近似
从特征函数出发可以推导出:
- 平移:若
则
。
- 缩放:若
则
。
- 可加性:若
则
。
以上三条性质保证了朗道分布是一种稳定分布,它的稳定参数和偏度参数
。[3]
当
时,朗道分布可以近似表示为[4][5]
![{\displaystyle p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad7d39aa39d8e50d91f5d3cf80b7f8cc812596b)