维基百科:知识问答/存档/2024年11月

已知三角形三边边长呈实数等比数列，且至少有一个内角是60度，试证明此三角形为正三角形。

如题。谢谢！---游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月29日 (二) 15:50 (UTC)

可以假设，另外两个内角分别是 60-x 和 60+x，三边为 a/r、a、ar。

利用正弦定理，可以求出r=1。

三边等长，所以此三角形是正三角形。--211.21.210.74（留言） 2024年10月30日 (三) 01:08 (UTC)

不可以这样假设，我只有说三边边长呈等比数列，没有说三内角角度呈等差数列。

这是阁下额外添加的条件，没有必然的因果关系，或者更准确地说，这因果关系本身就是本题要证明的事项。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月30日 (三) 08:53 (UTC)

三角形内角和为180度，已知其中一个角为60度，则另外两个角必然是60-x和60+x。--CaiDie（留言） 2024年10月31日 (四) 03:31 (UTC)

@克劳棣

如果你介意这点的话，可以把另外两个内角设成x和120-x。

最后结果仍然可以求出r=1。--36.234.14.11（留言） 2024年10月31日 (四) 14:14 (UTC)

好吧！但那个已知的60度的对边边长为什么是等比数列的第二项，而不是第一项或第三项呢？-游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月31日 (四) 17:18 (UTC)

因为题目已经告知其中一角是60度，则另外两角和必定为120度。

此两角的值不论怎么假设，一定会是其中一角小于等于60度，另外一角大于等于60度。--211.21.210.74（留言） 2024年11月1日 (五) 01:34 (UTC)

我上一个问题是问边长，不是角度。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月1日 (五) 08:13 (UTC)

大角对大边--2A0C:5A82:E212:1200:D8B2:E737:24D6:8825（留言） 2024年11月2日 (六) 09:43 (UTC)

好！60度角的对边边长是等比数列的第二项，那么请问接下来怎么用正弦定理证明这题呢？

我自己是用余弦定理做，用正弦定理反而被我搞得很复杂，实在不知道怎么进行下去。

或是阁下用余弦定理做做看，展示是否和我的思路一样。谢谢！---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月2日 (六) 12:33 (UTC)

余弦定理：

$cos60={\frac {(ar)^{2}+({\frac {a}{r}})^{2}-a^{2}}{2a({\frac {a}{r}})}}={\frac {1}{2}}$

上下同除$a^{2}$，得到${\frac {r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}-1}{2}}={\frac {1}{2}}$，可以解得$r=1$

正弦定理：(假设x是小于等于60的角)

${\frac {sin60}{a}}={\frac {sinx}{\frac {a}{r}}}={\frac {sin(120-x)}{ar}}$

得到联立方程式${\begin{cases}{\frac {1}{r}}sin60=sinx\\rsin60=sin(120-x)\end{cases}}$

上下两式相加，$(r+{\frac {1}{r}})sin60=sinx+sin(120-x)=2sin60cos(60-x)$

化简得到$r+{\frac {1}{r}}=2cos(60-x)\leq 2$

另外，利用算几不等式，可以得到${\frac {r+{\frac {1}{r}}}{2}}\geq {\sqrt {r({\frac {1}{r}})}}=1$

结合两个不等式，$r+{\frac {1}{r}}$只能等于2。

又因为算几不等式的等号成立，可以得到$r={\frac {1}{r}}=1$--2001:B011:8016:F994:6C78:4FF:718:1DA6（留言） 2024年11月3日 (日) 03:04 (UTC)

抱歉笔误，余弦定理第一行的分母少了一个r。--2001:B011:8016:F994:6926:FCD3:CECF:EF62（留言） 2024年11月3日 (日) 05:34 (UTC)

设此等比数列由小至大是a,b,c，则$b^{2}=ac$，

又$\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

$a^{2}+c^{2}-b^{2}=ac$

$a^{2}+c^{2}-2ac=0$

$(a-c)^{2}=0$

$a=c$

$b^{2}=ac=a^{2}$

$b=a$

故$a=b=c$---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月3日 (日) 11:30 (UTC)

已知三角形三边边长呈实数等差数列，且至少有一个内角是60度，试证明此三角形为正三角形。

如题。谢谢。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月29日 (二) 15:51 (UTC)

阁下同时发布了两个相同的问题，是否可以考虑将本问题删除？谢谢。--CHNAQW（戳我进入讨论页！o(*^▽^*)o~） 2024年11月1日 (五) 08:06 (UTC)

并没有相同。一个是边长呈等比数列，一个是等差数列。虽然结果一样，但起始条件不同。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月1日 (五) 08:19 (UTC)

和上题一样，设x为小于等于60度的角，三边由小至大分别为a-d、a、a+d。

利用正弦定理，${\frac {sin60}{a}}={\frac {sinx}{a-d}}={\frac {sin(120-x)}{a+d}}$

得到联立方程${\begin{cases}(a-d)sin60=asinx\\(a+d)sin60=asin(120-x)\end{cases}}$

上下两式相加，$2asin60=asinx+asin(120-x)$

左右两边同除以a，最后可以得到$cos(60-x)=1$

$x=60$，三个内角都是60度，所以此三角形是正三角形。

利用余弦定理，$cos60={\frac {(a-d)^{2}+(a+d)^{2}-a^{2}}{2(a+d)(a-d)}}={\frac {1}{2}}$

最后可以解出$d=0$，三边等长，此三角形是正三角形。--2001:B011:8016:F994:6926:FCD3:CECF:EF62（留言） 2024年11月3日 (日) 05:55 (UTC)

设此等差数列由小至大是a,b,c，则$a+c=2b$

$(a+c)^{2}=(2b)^{2}\rightarrow a^{2}+c^{2}+2ac=4b^{2}\rightarrow a^{2}+c^{2}=4b^{2}-2ac$

又$\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

$a^{2}+c^{2}-b^{2}=ac$

$(4b^{2}-2ac)-b^{2}=ac$

$3b^{2}=3ac$

$b^{2}=ac$

因此a,b,c同时也呈等比数列

易知a,b,c若同时呈等差数列与等比数列，则a=b=c---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月3日 (日) 11:43 (UTC)

关于en:Water supply and sanitation in India

我准备着手翻译这一篇，发现有zh:印度供水已与这一篇英文版连结，但篇幅是主要仅局限在供水的部分吧（英文版9.8万字节，中文版1.5万字节）。我预备将翻译后的条目订为[印度供水与污水处理]。大约在一两年前我曾发表过两篇翻译：1.zh:印尼供水与污水处理及2.zh:伊朗供水与污水处理，印度这一篇应该是同属于一个系列的。届时再讨论处理连结方面的问题。谢谢。--ThomasYehYeh（留言） 2024年11月12日 (二) 12:35 (UTC)