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超前波也被称为超前势​​，超前场和超前解。超前势这个词通常应用于涉及麦克斯韦方程的电磁场理论中。超前波和超前场通常应用于量子物理学，因此不仅涉及麦克斯韦方程组，而且涉及薛定谔方程，狄拉克方程和克莱因 - 戈登方程。当我们求解一个方程时，经常使用超前解，例如麦克斯韦方程。超前波是从当前时间发送到过去时间的波。超前波与从当前时间发送到未来时间的滞后波或不同。超前波违反了我们传统的因果关系。然而，许多物理学家，包括[阿尔伯-特爱因斯坦]，约翰阿奇博尔德-惠勒 理查德-费曼和约翰-克拉默认为超前波或超前场是物理学中的真实现象。有两种理论支持超前波，一种来自量子物理学的出版物，另一种来自经典电磁场理论。

超前波

点源在1D空间内的超前波

在1D空间中，比如波导管中, 如果源的密度为

$f({\boldsymbol {r}}_{0},t)$

此处 ${\boldsymbol {r}}_{0}$ 是波的震动源的位置. $t$ 是时间.

超前波可以被表示为下列形式,

$f({\boldsymbol {r}}_{0},t_{a})$

此处${\boldsymbol {r}}$ 远处一点且

$t_{a}=t+{\frac {||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}||}{c}}$

此处 $c$ 是速度比如光速。此处允许波在靠近其震动源的附近区域与上述形式不同，但至少在远场区域，波应如上所述表示。

在3D真空中点波源的超前波

在3D真空中，假定在$r_{0}$处有一个点波源 , 其震动源的方程为，

$f({\boldsymbol {r}}_{0},t)$

此处${\boldsymbol {r}}_{0}$是源的位置。 $t$是时间。超前波可被描述为下列形式，

${\frac {1}{||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}||}}f({\boldsymbol {r}}_{0},t_{a})$

此处${\boldsymbol {r}}$是远处一个点

$t_{a}=t+{\frac {||{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}||}{c}}$

其中$c$是速度例如光速。 此处允许波在靠近震源的附近区域与上述形式不同，但至少在远场区域，波应如上所述。超前波是从当前时间到过去的波，而滞后的波则从当前时间延伸到未来。如果源不是点源，则可以通过对所有点源的超前波的叠加原理而得

支持超前波的基本理论

麦克斯韦方程

麦克斯韦方程有两个解，一种是滞后势，另一种是超前势。 因此，麦克斯韦方程支持超前波。

韦伯电动力学

韦伯电动力学比麦克斯韦方程更早。 韦伯电动力学不排斥超前波并支持作用原理。

狄拉克方程

狄拉克方程支持滞后波和超前波。

Klein-Gordon方程

Klein-Gordon方程有两个解，一个是滞后解，另一个是超前解。

薛定谔方程

薛定谔方程只有一个滞后解。 但是很容易为它们提供一个超前解，这就是滞后滞的复共轭函数。

在量子物理中支持超前波的理论

超距作用（Action-at-a-distance）

“超距作用”的理论是由 （K. Schwarzschild） （H. Tetrode） （A.D. Fokker） 引入的。 根据这个理论，电流会产生两个电磁势或两个电磁波：一个是滞后波，另一个是超前波。 发射体可以发送滞后波，但同时它也发送一个超前波。 吸波体可以发送超前波，但同时它也会发出滞后波。 根据这个理论，如果太阳独自留在空间里，太阳是不可能发出辐射波的。 无限多个吸收体是太阳能辐射其光的原因。 这个作用量可以写成如下，

$S=-\sum _{i}m_{i}c\int ({\frac {dx_{i\mu }}{d\tau _{i}}}{\frac {dx_{i}^{\mu }}{d\tau _{i}}})^{\frac {1}{2}}d\tau _{i}-\sum _{i}\sum _{j<i}{\frac {e_{i}e_{j}}{c}}\int \int \delta (s_{ij}^{2}){\frac {dx_{i\mu }}{d\tau _{i}}}{\frac {dx_{j}^{\mu }}{d\tau _{j}}}d\tau _{i}d\tau _{j}=\mathrm {extremum}$

此处

$s_{ij}^{2}=(x_{i\mu }-x_{j\mu })(x_{i}^{\mu }-x_{j}^{\mu })$

$ds=c^{2}dt^{2}-dx_{1}^{2}-dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}$

Ritz-爱因斯坦辩论

和阿尔伯特-爱因斯坦于1909年就时间不对称的宏观现象进行了辩论。 Ritz认为，这种时间不对称的宏观现象是基于基本的物理规律。 因此，物理学中只允许迟滞波，物理学中禁止超前波。 在辩论中，爱因斯坦认为这种时间不对称的宏观现象是基于统计。 因此，对于微观现象来说，仍然可能是时间对称的，这意味着在物理学中允许滞后波和超前波。

（Walter Ritz and Albert Einstein）.

Dirac理论

狄拉克引入经典的电磁场方法来计算减速或加速电子的自力。 在这种方法中，牵涉到滞后势和超前势的差异。 （P. A. M. Dirac）

吸收体理论

吸收体理论由Wheeler和Feynman介绍 （J. A. Wheeler） （J. A. Wheeler）. 吸收体理论是建筑在超距作用 （A.D. Fokker） （K. Schwarzschild） （H. Tetrode） 理论之上的。 根据这个理论，电磁场没有自己的自由度。 电磁场是辅助场。 它是至少两个电荷之间的作用或反作用的记录。 这意味着如果没有测试电荷或吸收体，只有发射体不能产生辐射。 吸收体理论试图对在空间中加速或减速电荷的反冲力提供一个更好的解释。 Dirac引入了反冲作用（ P。 A. Dirac） 但Wheeler和Feynman不满足于Dirac没有提供反冲作用公式的合理理由。 惠勒和费曼尝试使用停留在无限大的球体上的吸收体来解释狄拉克给出的公式。 吸收体理论还强调吸收体在辐射过程中的重要性。

量子力学的交易诠释

John Cramer介绍的量子力学的交易诠释 (John Cramer) 交易诠释建立在Wheeler-Feynman吸收器理论的基础之上。 在这个理论中，发射体可以向吸收体发送提供波，当吸收体接收到提供波时，它可以向发射器发送确认波。 这两波可以握手。 这个握手过程是交易过程。 在这个过程中，会产生光子或其他粒子。 提供波是滞后波，确认波是超前波。

惠勒延迟选择实验

惠勒的延迟选择试验在1978 - 1984年间推出。 在此30年前惠勒引入吸波体理论，他支持超前波的存在。 惠勒的延迟选择实验可以看作是他超前波理论的结果。 因此，惠勒推迟选择实验支持（或至少不拒绝）超前波的概念。 这个实验的建议很快被证明是真实的。

延迟选择量子擦除实验

延迟选择量子擦除实验是惠勒的延迟选择实验之后的一个实验。 它可以被看作是对超前波的另一种见证（或者至少不拒绝）。

关于超前波的教程

劳伦斯M.斯蒂芬森出版了关于超前势的书 (Lawrence M. Stephenson), 这是很容易阅读，可以作为超前波知识的教程。

经典电磁场中的理论中涉及超前波

任意时域中的互易理论

这一理论由W.J.Welch在1960年提出 （W. J. Welch）. 该定理可以在下面看到，

$-\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V1}\mathbf {E} _{2}(t)\cdot \mathbf {J} _{1}(t)dVdt=\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V2}\mathbf {E} _{1}(t)\cdot \mathbf {J} _{2}(t)dVdt$

为了证明上述公式，需要证明表面积分消失。 该表面在无限大的球体上。 无限大球表面积分消失的证明需要两个波一个是滞后波，另一个是超前波。

新的互易定理

V.H.Rumsey介绍了他将洛伦兹互易定理总结为“作用与反作用”。 他将复共轭变换应用于他的“作用与反作用”理论，并获得了新的互惠理论 （V.H. Rumsey）,

$-\int _{V1}\mathbf {E} _{2}^{*}(\omega )\cdot \mathbf {J} _{1}(\omega )dVdt=\int _{V2}\mathbf {E} _{1}(\omega )\cdot \mathbf {J} _{2}^{*}(\omega )dV$

封闭表面上电磁场的内积空间

赵双任为任何两个电磁场定义了内积： (赵双任),

$(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=\oint _{\Gamma }(\mathbf {E} _{1}(\omega )\times \mathbf {H} _{2}^{*}(\omega )+\mathbf {E} _{2}^{*}(\omega )\times \mathbf {H} _{1}(\omega ))\cdot {\hat {n}}d\Gamma$

此处$\xi =[{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {H}}]$, $\tau =[{\boldsymbol {J}},{\boldsymbol {K}}]$, 赵双任证明 以上内积，满足内积空间 3个定义。 如果将$\tau _{2}$，将电流${\boldsymbol {J}}_{2}$或${\boldsymbol {K}}_{2}$的单位矢量，则场$\xi _{1}$可以在原来的源${\boldsymbol {J}}_{1}$或表面$\Gamma$上进行计算。 $\Gamma$是$V_{1}$和$V_{2}$之间的任意曲面，$\Gamma$可以是完整曲面或无限大开去面例如飞机。 ${\hat {n}}$是单位表面法线矢量。 赵双任证明了这种 内积满足[内积空间]的三个条件，

• 共轭对称性：

$(\xi _{1},\xi _{2})=(\xi _{2},\xi _{1})^{*}$

• 对第一个元素的线性:

${\begin{aligned}(a\xi _{1},\xi _{2})&=a(\xi _{1},\xi _{2})\\(\xi _{1}+\xi _{2},\xi _{3})&=(\xi _{1},\xi _{3})+(\xi _{2},\xi _{3})\end{aligned}}$

• 正定性：

${\begin{aligned}(\xi ,\xi )&\geq 0\\(\xi ,\xi )&=0\Leftrightarrow x=\mathbf {0} \,.\end{aligned}}$

根据这个理论，如果两个波的源都在表面$\Gamma$内部，且一个产生滞后波另一个产生超前波，那么该内积就为零， 即，

$(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=0$

此处 $\tau _{1},\tau _{2}\in V$ 是场 $\xi _{1},\xi _{2}$的源。 $\Gamma$ 是$V$的外表面。

互能定理

赵双任在1987年上半年介绍了互能原理 (赵双任) 。 赵双任强调互能定理是一个能量定理，而不是某种互易定理。 该定理描述了空间中的能量。 这个定理可以被看作是惠更斯－菲涅耳原理 (赵双任), 它可写成如下形式，

$-(\tau _{1},\xi _{2})_{V_{1}}=(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=(\xi _{1},\tau _{2})_{V_{2}}$

此处

$(\xi _{1},\xi _{2})_{\Gamma }=\oint _{\Gamma }(\mathbf {E} _{1}(\omega )\times \mathbf {H} _{2}^{*}(\omega )+\mathbf {E} _{2}^{*}(\omega )\times \mathbf {H} _{1}(\omega ))\cdot {\hat {n}}d\Gamma$

$\Gamma$是分隔$V_{1}$和$V_{2}$的任何关闭曲面或无限大曲面。 此处取${\hat {n}}$的方向是从$V_{1}$到$V_{2}$。

$(\tau _{1},\xi _{2})_{V_{1}}=\int _{V1}({\boldsymbol {J}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {E}}_{2}^{*}(\omega )+{\boldsymbol {K}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {H}}_{2}^{*}(\omega ))dV$

$(\xi _{1},\tau _{2})_{V_{2}}=\int _{V2}({\boldsymbol {E}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {J}}_{2}^{*}(\omega )+{\boldsymbol {H}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {K}}_{2}^{*}(\omega ))dV$

时域互相关互易定理

Adrianus T. de Hoop在1987年底发表了时域互相关互易定理 （Adrianus T. de Hoop） which can be seen as following,

$-\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V2}\mathbf {E} _{2}(t+\tau )\cdot \mathbf {J} _{1}(t)dVdt=\int _{t=-\infty }^{\infty }\int _{V1}\mathbf {E} _{1}(t)\cdot \mathbf {J} _{2}(t+\tau )dVdt$

被遗忘的第二个洛仑兹互易定理

I.V.Petrusenko在2009年介绍了被遗忘的第二个洛仑兹互易定理 （I. V. Petrusenko）.。这些定理多次被重新发现，这表明它们非常重要。

这些定理之间的关系

不难证明互能定理（赵双任）和时域互相关定理（ Adrianus T. de Hoop）是通过傅里叶变换连接的相同定理，一个是在傅立叶频域，另一个是时域。互能量定理的方法类似于 （V.H.Rumsey） 任意时域中的互惠理论（W. J. Welch）是一个特殊情况，其中$\tau =0$的时域互相关定理（Adrianus T. de Hoop） 被遗忘的第二洛仑兹互易定理（ I. V. Petrusenko）也与（V.H. Rumsey）因此，所有上述定理都可以看作一个定理。相同的数学公式有两个主要的应用（1）作为互易性用来从发射天线的方向图中找出接收天线的方向图，在这种情况下这个公式可以称为互易定理; （2）发现发射天线与接收天线之间的能量传递，则相同的公式可以称为互能量定理。

共轭变换

目前还不清楚是谁首先引入了共轭变换的概念，但共轭变换的细节理论可以在其中找到 （Jin Au Kong）. 重要的是，如果一个场满足麦克斯韦方程组，在共轭变换之后， 它仍然满足麦克斯韦方程组。 如果原始场是滞后波，则变换后变成超前波。 反之，如果原来的场是超前的波，变换后成为滞后波。

$\mathbf {\mathbb {C} } (\mathbf {E} (t),\mathbf {H} (t),\mathbf {J} (t),\mathbf {K} (t),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }} (t),\mathbf {\boldsymbol {\mu }} (t))=(\mathbf {E} (-t),-\mathbf {H} (-t),-\mathbf {J} (-t),\mathbf {K} (-t),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }} (-t),{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }}(-t))$

或

$\mathbf {\mathbb {C} } (\mathbf {E} (\omega ),\mathbf {H} (\omega ),\mathbf {J} (\omega ),\mathbf {K} (\omega ),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }} (\omega ),\mathbf {\boldsymbol {\mu }} (\omega ))=(\mathbf {E} ^{*}(\omega ),-\mathbf {H^{*}} (\omega ),-\mathbf {J^{*}} (\omega ),\mathbf {K} ^{*}(\omega ),\mathbf {\boldsymbol {\epsilon ^{*}}} (\omega ),{\boldsymbol {\mathbf {\mu ^{*}} }}(\omega ))$

此处 $\mathbf {\mathbb {C} }$ 共额变换。 $\mathbf {E}$ 电场. $\mathbf {H}$ 是磁场。 $\mathbf {J}$ 是电流密度. $\mathbf {K}$ 是磁流密度。 $\mathbf {\boldsymbol {\epsilon }}$ 是 电容率, $\mathbf {\boldsymbol {\mu }}$ 是 磁导率, $t$ 是时间, $\omega$ 是频率.

洛仑兹互易定理

在洛仑兹互易定理中，

$\int _{V_{2}}{\boldsymbol {E}}_{2}(\omega )\cdot {\boldsymbol {J}}_{1}(\omega )dVdt=\int _{V_{2}}{\boldsymbol {E}}_{1}(\omega )\cdot {\boldsymbol {J}}_{2}(\omega )dV$

所有的场都滞后势。 然而，共轭变换可以应用于互易定理内的两个场之一。 在这种情况下，两个场成为一个滞后场一个超前场。 因此，洛仑兹互易定理与共轭变换一起等于互能量定理（赵双任）或时域互相关互易定理 （Adrianus T. de Hoop）。 因此，洛伦兹互易定理可以写成如下，

$-(\tau _{1},\mathbf {\mathbb {C} } \xi _{2})_{V_{1}}=(\xi _{1},\mathbf {\mathbb {C} } \tau _{2})_{V_{2}}$

实际上互能定理（赵双任） Rumsey的新互易定理（V.H. Rumsey）是通过将共轭变换应用于洛伦兹互易定理而得出的。 应该指出的是，即使互能定理可以用洛伦兹互易定理通过使用共轭变换得到，互能定理也是一个与洛伦兹互易定理相关的独立定理。 原因在于共轭变换不是象傅里叶变换那样的数学变换，而是依据麦克斯韦方程的物理变换。 另一个原因是共轭变换改变后的场。超前的波变换后成为滞后波，滞后波成为超前波。

洛仑兹互易定理与互能定理/时域互相关定理的区别

在洛仑兹互易定理中，两个场都是滞后场。 在互能定理或互相关时域互易定理中，两个场是一个是从发射天线发出的滞后波，另一个是从接收天线发出的超前波。

互能定理或时域互相关互易定理可以是能量定理。 它描述了两个天线的能量关系。 洛伦兹互易定理是一个数学定理，它是互能定理/时域互相关定理的共轭变换。

球面波展开和平面波展开

互能量定理的电磁场内积空间 （赵双任） (赵双任) 可以被用来进行波的展开，例如球面波展开（赵双任） 和平面波展开(赵双任).. 滞后波和超前波都可以进行球面或者平面波展开。