Böhmer积分

在数学中，Böhmer积分是一种特殊的积分

$\displaystyle C(x,\alpha )=\int _{x}^{\infty }t^{\alpha -1}\cos(t)\,dt$

$\displaystyle S(x,\alpha )=\int _{x}^{\infty }t^{\alpha -1}\sin(t)\,dt$

因此，菲涅耳积分可以用 Böhmer 积分表示为

$\operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)$

$\operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left({\frac {1}{2}},y^{2}\right)$

正弦积分和余弦积分也可以用 Böhmer 积分表示

$\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {S} (x,0)$

$\operatorname {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {C} (x,0)$

参考

• Böhmer, Paul Eugen. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale.. Leipzig, K. F. Koehler Verlag. 1939 [2022-04-10]. （原始内容存档于2022-04-10） （德语）. 
• Oldham, Keith B.; Myland, Jan; Spanier, Jerome. An Atlas of Functions. Springer Science & Business Media. 2010: 401 [2022-04-10]. （原始内容存档于2022-04-10）.