魔方群

魔方的所有可能重新排列形成一个群，叫做魔方群。

在数学中，魔方群是一个群 (G,·) 对应于集合G的所有魔方块正常转动可能形成的所有情形. 从完好魔方从发到任一种状态所经历的操作, 都与群元有一一对应的关系. .

对于一个3阶标准魔方, 除去中心块外一共有48个色块, 因此一个魔方状态可以由1-48的某种排列表示, 但由于魔方本身的几何结构约束, 并不是所有的序号排列都是合法的魔方状态. 在这种表示下, 对魔方的一个操作可以表示成一个置换. 因此, 3阶魔方群是置换群$S_{48}$的子群, 并满足和置换群相同的运算规则.

和置换群相同, 魔方群是一个非阿贝尔群, 对魔方的操作不满足交换律.

魔方操作

一个3阶魔方包含$6$个面, 其中每个面有$9$个色块. 对魔方的一次原子级操作是将其中的某一个面顺时针旋转$90^{\circ }$, 分别记为$\{\mathbf {F} ,\mathbf {B} ,\mathbf {L} ,\mathbf {R} ,\mathbf {U} ,\mathbf {D} \}$. 以右侧面为例, 逆时针旋转可以被记为$\mathbf {R} ^{3}$, 通常简记为$\mathbf {R} '$. 特别指出, 不对魔方进行任何操作的操作被记为$\mathbf {E}$, 是3阶魔方群的单位元.

同构

魔方群共有$43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!={\frac {12!}{2}}\cdot 2^{12-1}\cdot 8!\cdot 3^{8-1}$个元素，与下方此群同构，当中$A_{n}$为交错群，$\mathbb {Z} _{n}$为循环群：

$(\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).$

参考条目

• 旋转方块