多项式余式定理(英语:Polynomial remainder theorem)是指一个多项式
除以一线性多项式
的余式是
。[1]
我们可以一般化多项式余式定理。如果
的商式是
、余式是
,那么
。其中
的次数会小于
的次数。例如,
的余式是
。又可以说是把除式的零点代入被除式所得的值是余式。
至于除式为2次以上时,可将n次除式的
根
列出联立方程:

其中
是被除式,
是余式。
此方法只可用在除式不是任一多项式的
次方。
多项式余式定理可由多项式除法的定义导出.根据多项式除法的定义,设被除式为
,除式为
,商式为
,余式为
,则有:

如果
是一次式
,则
的次数小于一,因此,
只能为常数,这时,余式也叫余数,记为
,即有:

根据上式,当
时,有:

因此,我们得到了余式定理:多项式
除以
所得的余式等于
。