双极圆柱坐标系

双极坐标系绘图。图中的红色圆圈是 $\sigma$-等值曲线，蓝色圆圈则是 $\tau$-等值曲线。

双极圆柱坐标系（英语：Bipolar cylindrical coordinates）是一种三维正交坐标系。往 z-轴方向延伸二维的双极坐标系 ，则可得到双极圆柱坐标系。双极坐标系的两个焦点 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ ，其直角坐标 $(x,\ y)$ 分别设定为 $(-a,\ 0)$ 与 $(a,\ 0)$ 。延伸至三维空间，这两个焦点分别变成两条直线，$L_{1}$ 与 $L_{2}$ ，称为焦线。

基本定义

双极圆柱坐标 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 通常定义为

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 、

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 、

$z=z$ ；

其中，点 $P$ 的 $\sigma$ 坐标等于 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度，$\tau$ 坐标等于 $d_{1}=F_{1}P$ 与 $d_{2}=F_{2}P$ 的比例的自然对数

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$。

注意到焦线 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的坐标分别为 $x=-a$ 与 $x=a$ 。

坐标曲面

双极坐标的几何诠释。 ${\overline {F_{1}P}}$ 与 ${\overline {F_{2}P}}$ 的夹角 $\angle F_{1}PF_{2}$ 的弧度是 $\sigma$ 。$F_{1}P$ 与 $F_{2}P$ 的比例的自然对数是 $\tau$ 。$\sigma$ 与 $\tau$ 的等值曲线都是圆圈，分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交（以洋红色表示）。

不同 $\sigma$ 的坐标曲面是一组不同圆心线，而相交于两个焦线 $L_{1}$ 与 $L_{2}$ 的圆柱面：

$x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$ 。

它们的圆心线都包含于 yz-平面。正值 $\sigma$ 的圆柱面的圆心线都在 $y>0$ 半空间；而负值 $\sigma$ 的圆柱面的圆心线则在 $y<0$ 半空间。当绝对值 $\left|\sigma \right|$ 增加时，圆半径会减小，圆心线会靠近原点。当圆心线包含原点时，$\left|\sigma \right|$ 达到最大值 $\pi /2$ 。

不同 $\tau$ 的坐标曲面是一组围着焦线，互不相交，不同半径的圆柱面。半径为

$y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}$ 。

它们的圆心线都包含于 xz-平面。正值 $\tau$ 的圆柱面在 $x>0$ 半空间；而负值 $\tau$ 的圆柱面在 $x<0$ 半空间。 $\tau =0$ 平面则与 yz-平面同平面。当 $\tau$ 值增加时，圆柱面的半径会减少，圆心线会靠近焦点。

逆变换

双极圆柱坐标 $(\sigma ,\ \tau ,\ z)$ 可以用直角坐标 $(x,\ y,\ z)$ 来表示。点 P 与两个焦线之间的距离是

$d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}$ 、

$d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}$ 。

$\tau$ 是 $d_{1}$ 与 $d_{2}$ 的比例的自然对数：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$ 。

$\angle F_{1}PF_{2}$ 是两条从点 P 到两个焦点的线段 ${\overline {F_{1}P}}$ 与 ${\overline {F_{2}P}}$ 的夹角。这夹角的弧度是 $\sigma$ 。用余弦定理来计算：

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}$ 。

z-坐标的公式不变：

$z=z$ 。

标度因子

双极圆柱坐标 $\sigma$ 与 $\tau$ 的标度因子相等；而 $z$ 的标度因子是 1 ：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}$ 、

$h_{z}=1$ 。

所以，无穷小体积元素等于

$dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$ 。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F}$ 与 $\nabla \times \mathbf {F}$ ，都可以用双极圆柱坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标系的一般方程式内。

应用

双极圆柱坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，双极圆柱坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是，有两个互相平行的圆柱导体，请问其周围的电场为什么？应用双极圆柱坐标，我们可以精致地分析这例题。

参考文献

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)