隐藏吸引子
隐藏吸引子（hidden attractor）是动力系统中一种特别的吸引子，系统中不但有稳定的振荡（极限环或混沌吸引子），也存在唯一的稳定平衡点。
在动力系统的分岔理论中，若有不失去平稳集稳定性的有界振荡，会称为是隐藏振荡（hidden oscillation）。在非线性控制理论中，非时变系统出现状态有界的隐藏振荡，表示其越过了参数域的边界，平稳集的局部稳定性也表示全域的稳定性（卡尔曼猜想）。若隐藏振荡（或是动力系统相空间内的某隐藏振荡子集）可以吸引邻近几乎所有的振荡，则称为是隐藏吸引子（hidden attractor）。
针对有单一平衡点，而且平衡点具有全域吸引性的动力系统，隐藏振荡的出现表示其行为特性的改变，由单稳定性变成双稳定性（bi-stability）。一般来说，动力系统会变成多稳态，同时在相空间中会同时出现局部的吸引子。平凡吸引子（稳定的平衡点）可以用解析或是数值的方式求得。但要找极限环（周期吸引子）或混沌吸引子的困难度就很高了（参考希尔伯特第十六问题）。
将吸引子分为隐藏或自激两类
[编辑]为了要识别物理系统或是数值实验中的局部吸引子，需要在吸引子的吸引区域（basin of attraction）中选定一点为初始状态，观察系统状态从初始状态开始后，吸引子的特性。将吸引子分为隐藏或自激两类，本身就反映出在相空间中找局部吸引子吸引区域的困难点。
定义[1][2][3] 若吸引子的吸引区域没有和其他平衡点的开放邻域有交集，此吸引子称为隐藏吸引子（hidden attractor），否则，此吸引子称为自激吸引子（self-excited attractor）。
将吸引子分为隐藏或自激的想法是由Gennady Leonov和Nikolay V. Kuznetsov提出的，和2009年首次发现蔡氏电路中的隐藏吸引子有关[4][5][6][7]。同样的，任何有界的振荡，若在相空间中不一定有开邻界的吸引区域，则可以分类为自激振荡或隐藏振荡。
自激吸引子
[编辑]针对自激吸引子，其吸引区域会伴随一个不稳定的平衡点，因此可以用标准数值的程序来找自激吸引子，使轨迹从不稳定平衡点的邻域开始，看是否会被吸引到某个振荡状态中，若有，即为自激吸引子（自激振荡）。因此，自激吸引子就算和多稳态一起出现，也可用数值的方式发现吸引子，并加以视觉化。在洛伦茨吸引子中，针对经典的参数下，吸引子相对所有存在的平衡点都是自激吸引子, 可以在其附近将轨迹视觉化。不过有些参数下，会有二个平凡的吸引子和自激的混沌吸引子并存（自激吸引子只和不稳定的零平衡点有关）。Van der Pol、B-Z反应、若斯叻吸引子、蔡氏电路和厄农映射的吸引子都是自激吸引子。
伊甸猜想是猜想自激吸引子的李雅普诺夫维数，不会超过对应不稳定流形的李雅普诺夫维数，也就是和吸引子吸引区域有重叠的不稳定流形[8]。
隐藏吸引子
[编辑]隐藏吸引子也有吸引区域，但不和其他的平衡点相连，因此在相空间中是“隐藏”的。例如，隐藏吸引子可能是以下系统的吸引子：没有平衡点的系统（例如1902年提出，有Sommerfeld效应的旋转机电系统）、只有一个平衡点，且稳定的系统（例如阿依热尔曼猜想的反例以及卡尔曼猜想的反例，这些猜想都是有关非线性控制系统的单稳定性）。最早提出的相关理论问题是希尔伯特第十六问题的后半部，此问题是有关二维多项式系统中，极限环的数量以及相互的位置，而嵌套的稳定极限环就是隐藏的周期吸引子。隐藏吸引子的概念已成为许多应用的动态模型中，发现隐藏吸引子的催化剂[1][9][10]。
一般而言，有关隐藏吸引子的问题，没有通用直接的方式来追踪或是预测系统是否会有隐藏吸引子（例如[11]）。不过针对二维系统，可以用解析方式观测隐藏吸引子（例如希尔伯特第十六问题的第二个问题）。若要研究复杂非线性多维系统的稳定性和振荡，多半会用数值方法进行。 在多维系统中，不太可能用乱数初始资料进行轨迹积分来找区域性的隐藏吸引子，原因是其吸引区域可能很小，而且其维度可能比系统的维度要小很多。因此这种问题的数值区域化需要发展特殊的数值解析计算程序[1][12][8]，可以选择隐藏吸引子吸引区域中的一点作为启始点（不包括平衡点的邻域），再进行轨迹计算。也有一些以同伦（homotopy）和数值延拓法（numerical continuation）为基础的有效方式：是建构类似系统的程序，此程序使得针对第一个系统（启始系统）要数值计算振荡解（启始振荡）的初值可以用解析方式求得，接下来将启始振荡转换到允许数值计算的第二个系统。
隐藏吸引子理论
[编辑]将吸引子分为自激吸引子和隐藏吸引子，是出现隐藏振荡理论的基本前提，这代表了安德罗诺夫（Andronov）隐藏理论的现代发展。找到全域稳定性的确切边界是关键。N. Kuznetsov将全域稳定性分类为平凡的（依局部的分叉决定）或隐藏的（依照非局部的分叉以及隐藏振荡的出现）两类[13][14]。
参考资料
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书籍
[编辑]- Chaotic Systems with Multistability and Hidden Attractors (Eds.: Wang, Kuznetsov, Chen), Springer, 2021 (doi:10.1007/978-3-030-75821-9 （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
- Nonlinear Dynamical Systems with Self-Excited and Hidden Attractors (Eds.: Pham, Vaidyanathan, Volos et al.), Springer, 2018 (doi:10.1007/978-3-319-71243-7)