闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。
设
,
为巴拿赫空间,
为线性算子。定义
的图像为
的子空间
。
赋予
范数
,使得
成为巴拿赫空间。那么,这定理指
是连续的(与有界等价)当且仅当
在
内是闭集。
闭图像定理可以从开映射定理推导出来。
是闭集的充分必要条件是如果序列
(即对任意
有
),而
,那么
,
。如果
是连续的,从连续性立刻可知
是闭集,因为连续性是更强的条件:如果
,则
。
如果
是闭集,可以在
定义线性算子
,
。
显然
,因此
是有界算子。
是巴拿赫空间
中的闭子空间,所以
是巴拿赫空间。
也是巴拿赫空间,
是双射,从而由开映射定理的系可知,其逆
为有界算子。
因为
,故
也是有界的。
从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。