的映射
(
指
的幂集的幂集)。这样
将
的每个点
映射至
的子集族
。
称为
的邻域系(或称邻域系统,
的元素称为
的邻域),当且仅当对任意的
,
满足如下邻域公理:
- U1:若
,则
。
- U2:若
,则
。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
- U3:若
,
,则
。
- U4:若
,则存在
,使
且对所有
,有
。
从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念:
- 从邻域定义开集:
的子集
是开集,当且仅当对任意
,有
。(
是其中每个点的邻域)。
- 从邻域定义开核:
的子集
的开核
。
- 从邻域定义闭包:
的子集
的闭包
。
参照滤子的定义。给定点x,其邻域系
恰构成了一个滤子,称为邻域滤子。
点
的邻域基或局部基
,就是邻域滤子
的滤子基。它是
的子集,满足:每个x的邻域
都存在
,使
。
- (
,使
,
)
反之,给出邻域基
,可以反推出相应的邻域滤子:
。[1]
- 若拓扑空间X是不可分拓扑,则任何点 x 的邻域系是整个空间
![{\displaystyle {\mathcal {V}}(x)=\{X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f042ff908e5b1dc1e1b36f5c77a87e7ce76fb)
- 在度量空间中,对于任何点 x,围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基
。这意味着所有度量空间都是第一可数的。
。
- 这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说,只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。
- 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。
- 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。
- ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)