超实数轴上的无穷小（
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ω
{\displaystyle \omega }
(
1
ε
=
ω
1
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{\varepsilon }}={\frac {\omega }{1}}\right)}
超实数 系统是为了严格处理无穷量（无穷大量 和无穷小量 ）而提出的。自从微积分 的发明以来，数学家、科学家和工程师等（包括牛顿 和莱布尼兹 在内）就一直广泛地用无穷小量等概念。超实数集，或称为非标准实数 集，记为
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
扩张 ；其中含有一种数，它们大于所有如下形式的数：
1
+
1
+
⋯
+
1
{\displaystyle 1+1+\cdots +1}
有限 个），这可以解释为无穷大量 ；而它们的倒数就作为无穷小量 。
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
一阶命题 如果成立，则该命题对
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
传达原理
举例来说，实数集的加法交换律
∀
x
,
y
∈
R
,
x
+
y
=
y
+
x
{\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} ,x+y=y+x}
是关于
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∀
x
,
y
∈
∗
R
,
x
+
y
=
y
+
x
{\displaystyle \forall x,y\in {}^{*}\!\,\mathbb {R} ,x+y=y+x}
也就是说超实数集同样满足加法交换律。
无穷小量的概念是否严格呢？此问题可以追溯到古希腊数学：数学家们如欧几里得 、阿基米德 等，为了在一些证明里绕开无穷小量的争议以保证严格性 ，而采用了穷竭法 等其它说明方式[ 1] 亚伯拉罕·鲁滨逊 在1960年代证明了如下命题：
超实数系统是相容的，当且仅当实数系统是相容的。
换句话说，如果对实数的使用没有怀疑，那也可以放心使用超实数。在处理数学分析的问题时对超实数、尤其是传达原理的使用，通称为非标准分析 。
超实数系统的想法是将实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
+
0
=
x
{\displaystyle x+0=x}
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
y
=
y
x
{\displaystyle xy=yx}
集合
S
{\displaystyle S}
然而，传达原理并不意味着
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
ω
{\displaystyle \omega }
1
<
ω
,
1
+
1
<
ω
,
1
+
1
+
1
<
ω
,
1
+
1
+
1
+
1
<
ω
,
…
{\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }
但在
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
[来源请求]
ω
{\displaystyle \omega }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
超实数量的非形式化符号在微积分的发展史上出现于两处：作为无限小，例如
d
x
{\displaystyle {\mathrm {d} }x}
不定积分 的极限中使用符号
∞
{\displaystyle \infty }
作为传达原理的一个例子，对于任何非零数字
x
{\displaystyle x}
2
x
≠
x
{\displaystyle 2x\neq x}
∞
{\displaystyle \infty }
同时，随意使用
1
0
=
∞
{\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
1
ε
{\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}}
对于任何有限的超实数
x
{\displaystyle x}
标准部分
st
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {st} (x)}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
st
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {st} (x)}
扩展实数 中的
∞
{\displaystyle \infty }
x
{\displaystyle x}
st
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {st} (x)}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
超实数系统的一个重要用途是其给予微分运算符
d
{\displaystyle \mathrm {d} }
莱布尼兹 那样直接的定义导数和积分。
对于任何实值函数
f
{\displaystyle f}
d
f
{\displaystyle \mathrm {d} f}
(
x
,
d
x
)
{\displaystyle (x,\,\mathrm {d} x)}
d
:
M
a
p
→
M
a
p
f
↦
[
d
f
:
R
×
∗
R
→
∗
R
(
x
,
d
x
)
↦
st
(
f
(
x
+
d
x
)
−
f
(
x
)
d
x
)
d
x
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \colon \ &{\mathsf {Map}}&\rightarrow &\qquad \qquad {\mathsf {Map}}\\&\ f&\mapsto &\quad \left[{\begin{aligned}\mathrm {d} f\colon &\ \mathbb {R} \times {}^{*}\!\,\mathbb {R} &\rightarrow &\qquad {}^{*}\!\,\mathbb {R} \\&(x,\,\mathrm {d} x)&\mapsto &\quad \operatorname {st} \left({\dfrac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\right)\mathrm {d} x\end{aligned}}\right].\end{aligned}}}
需要注意的是，用来表示任何无限小的符号
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
d
{\displaystyle \mathrm {d} }
d
{\displaystyle \mathrm {d} }
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
(
x
,
d
x
)
{\displaystyle (x,\,\mathrm {d} x)}
d
(
x
)
(
x
,
d
x
)
{\displaystyle \mathrm {d} (x)(x,\,\mathrm {d} x)}
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
如果在
x
{\displaystyle x}
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
d
f
(
x
,
d
x
)
d
x
=
st
(
f
(
x
+
d
x
)
−
f
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x,\mathrm {d} x)}{\mathrm {d} x}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\right)}
所得出的数值都相同，则这个商被称为函数
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
例如，要找到函数
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
导数 ，让
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
d
f
(
x
,
d
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x,\mathrm {d} x)}{\mathrm {d} x}}}
=
st
(
f
(
x
+
d
x
)
−
f
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\right)}
=
st
(
x
2
+
2
x
⋅
d
x
+
(
d
x
)
2
−
x
2
d
x
)
{\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(\mathrm {d} x)^{2}-x^{2}}{\mathrm {d} x}}\right)}
=
st
(
2
x
⋅
d
x
+
(
d
x
)
2
d
x
)
{\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot \mathrm {d} x+(\mathrm {d} x)^{2}}{\mathrm {d} x}}\right)}
=
st
(
2
x
⋅
d
x
d
x
+
(
d
x
)
2
d
x
)
{\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot \mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}+{\frac {(\mathrm {d} x)^{2}}{\mathrm {d} x}}\right)}
=
st
(
2
x
+
d
x
)
{\displaystyle =\operatorname {st} \left(2x+\mathrm {d} x\right)}
=
2
x
{\displaystyle =2x}
在计算微分的过程中，传统做法不严谨的直接忽略了无限小量的平方，与此相比，非标准分析中使用到的标准部分函数是一个良好的严格替代方法。值得注意的是，二元数 是基于此思想的数字系统。在上述微分的第三行之后，从牛顿到 19 世纪的典型方法是简单地丢弃
d
x
2
{\displaystyle \mathrm {d} x^{2}}
d
x
2
{\displaystyle \mathrm {d} x^{2}}
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
d
x
2
{\displaystyle \mathrm {d} x^{2}}
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
使用超实数进行微分可以更方便的进行代数操作。在标准微分中，偏微分和高阶微分不能通过代数技巧独立操作。然而，使用超实数，可以建立这样的系统，只是会使用稍微不同的表示法。[ 2]
超实数系统另一个关键用途是为莱布尼茨所用的积分符号 ∫ 赋予精确的含义。
对于任何微小函数
ε
(
x
)
{\displaystyle \varepsilon (x)}
∫
(
ε
)
{\displaystyle \int (\varepsilon )\ }
∫
:
M
a
p
→
M
a
p
ε
(
x
)
↦
[
∫
(
ε
)
:
R
2
×
∗
R
→
R
(
a
,
b
,
d
x
)
↦
∫
a
b
(
ε
,
d
x
)
:=
st
(
∑
n
=
0
N
ε
(
a
+
n
d
x
)
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \colon &\quad {\mathsf {Map}}&\rightarrow &\qquad \qquad {\mathsf {Map}}\\&\quad \varepsilon (x)&\mapsto &\quad \left[{\begin{aligned}\int (\varepsilon )\colon &\quad \mathbb {R} ^{2}\times {}^{*}\!\,\mathbb {R} &\rightarrow &\qquad \mathbb {R} \\&\quad (a,\,b,\,\mathrm {d} x)&\mapsto &\int _{a}^{b}(\varepsilon ,\,\mathrm {d} x):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\,\mathrm {d} x)\right)\end{aligned}}\right]\end{aligned}}.}
其中
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
N
{\displaystyle N}
st
(
N
d
x
)
=
b
−
a
{\displaystyle \operatorname {st} (N\ \mathrm {d} x)=b-a}
超整数
如果积分值
∫
a
b
(
f
d
x
,
d
x
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}(f\,\mathrm {d} x,\mathrm {d} x)}
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,\,b]}
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,\,b]}
这表明使用超实数，莱布尼茨对定积分的表示式实际上可以解释为一个有意义的代数表达式，就像导数可以解释为一个有意义的商一样。
超实数集
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
有序域 。与实数域不同的是，超实数集并不构成一个标准的度量空间 ，但由于其有序性，在超实数集上可以定义序拓扑 。
虽然“超实数集”一词看似是指称实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
弗拉基米尔‧卡诺维 萨哈隆·示拉 [ 3] 可定义的 饱和 实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
初等扩张 ，其中饱和意味着 ω -饱和可数的 。此外，上述通过对收集所有实数序列的空间中进行超幂次 建构所获得的体，在连续统假设 下，具有同构意义下的唯一性，因此有理由称其为“超实数”
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
超实数集的条件比包含实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
实封闭域 的条件更强，它也比戴尔斯和伍丁 超级实数域 [ 4]
超实数相关概念的发展可以分为透过公理化及透过构造性的两种过程。公理化方法的精髓在于断言（一）至少存在一个无穷小数，和（二）转移原则的有效性。而以下的子节，则更着重于详述建构性方法，此方法允许人们在一个称为超滤子 的集合论对象上超实数，但是超滤子本身不能被明确地构造。
当牛顿 和莱布尼兹 引入微分时，他们使用了无穷小数，这些无穷小数的概念仍然被后来的数学家如欧拉 和柯西 不断的使用。但是，这些概念从一开始就被认为是可疑的，特别是乔治·柏克莱 ，其批评集中在对微分（或流量）定义中假设的变化的感知上，尤其是
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} x}
分析学家 ）。在 1800 年代，通过波尔查诺 、柯西、魏尔斯特拉斯 等人发展的
(
ε
,
δ
)
{\displaystyle (\varepsilon ,\,\delta )}
微积分 建立在坚实的基础上时，无穷小数几乎被遗弃，唯独有关非阿基米德体 的研究仍在继续（Ehrlich 2006）。
直到 1960 年代，鲁滨逊 展示了如何严格定义和使用无穷大和无穷小数来发展非标准分析 相关领域[ 5] 模型论 以非构造性 的方式发展了他的理论。然而，只使用抽象代数 和拓扑学 等工具，并将转移原则作为定义的直接推论来进行论证，也是可行的。换句话说，除了在非标准分析中的使用外，超实数“本身”与模型理论或一阶逻辑没有必要的关系，尽管超实数是通过应用来自逻辑的模型理论技术发现的。事实上，超实数集最初是由爱德温‧休伊特
^ Ball, p. 31
^ Fite, Isabelle. Total and Partial Differentials as Algebraically Manipulable Entities. 2022. arXiv:2210.07958 ^ Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon, A definable nonstandard model of the reals (PDF) , Journal of Symbolic Logic, 2004, 69 : 159–164 [2004-10-13 ] , S2CID 15104702 arXiv:math/0311165 doi:10.2178/jsl/1080938834 原始内容 (PDF) 存档于2004-08-05） ^ Woodin, W. H.; Dales, H. G., Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, 1996, ISBN 978-0-19-853991-9 ^ Robinson, Abraham , Non-standard analysis, Princeton University Press , 1996, ISBN 978-0-691-04490-3
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \colon \ &{\mathsf {Map}}&\rightarrow &\qquad \qquad {\mathsf {Map}}\\&\ f&\mapsto &\quad \left[{\begin{aligned}\mathrm {d} f\colon &\ \mathbb {R} \times {}^{*}\!\,\mathbb {R} &\rightarrow &\qquad {}^{*}\!\,\mathbb {R} \\&(x,\,\mathrm {d} x)&\mapsto &\quad \operatorname {st} \left({\dfrac {f(x+\mathrm {d} x)-f(x)}{\mathrm {d} x}}\right)\mathrm {d} x\end{aligned}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e706beca588f065ad1a4b6862daa548708d3b7e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \colon &\quad {\mathsf {Map}}&\rightarrow &\qquad \qquad {\mathsf {Map}}\\&\quad \varepsilon (x)&\mapsto &\quad \left[{\begin{aligned}\int (\varepsilon )\colon &\quad \mathbb {R} ^{2}\times {}^{*}\!\,\mathbb {R} &\rightarrow &\qquad \mathbb {R} \\&\quad (a,\,b,\,\mathrm {d} x)&\mapsto &\int _{a}^{b}(\varepsilon ,\,\mathrm {d} x):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\,\mathrm {d} x)\right)\end{aligned}}\right]\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04036e5a2d356ae54de0d3d7aee85cb17c5d59a7)
![{\displaystyle [a,\,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6403d6efced230f17c4b47aaf58879b629b048f)
.
