西尔维斯特矩阵,是与两个多项式相关的矩阵,从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。
设p和q为两个多项式,次数分别为m和n。因此:
![{\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d53ca7b76a15c00f06eb5fe7baf75b011bc0c4)
于是,与p和q相关的西尔维斯特矩阵,就是通过以下方法得到的矩阵
:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14928528704a4cef172967630a4d4504331cc58)
- 第二行是第一行往右移一列;第二行第一列的元素是零。
- 下面的(n-2)行也是用这种方法得出,每次都往右移一列。
- 第(n+1)行为:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61eb7d14446d073568decc453d6661a340e6ac7)
因此,如果我们设m=4和n=3,则矩阵为:
![{\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e632af104ba1c4e0051f89a40450f0787697cac)
西尔维斯特矩阵用于交换代数中,例如测试两个多项式是否有一个(非常数)公因式。确实,在这种情况下,相关的西尔维斯特矩阵的行列式(称为两个多项式的结式)等于零。反过来也成立。
以下线性方程组的解
![{\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a8104c1c4e81e58ab744fc63b359436c63c89b)
其中
是大小为
的向量,
是大小为
的向量,由满足下式的多项式对
(次数分别为
和
)的系数向量构成:
![{\displaystyle x\cdot p+y\cdot q=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6c3da088e0c828854effeefa1e6b8aec0c4a79)
这就是说,西尔维斯特矩阵的转置的核给出了裴蜀方程的所有解,其中
且
。
这样,西尔维斯特矩阵的秩决定了
和
的最大公因式的次数:
![{\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\mathrm {rank} ~S_{p,q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248a7771978bb654f5bda32ad47839839d7747a6)