良序定理

在数学中，良序定理（英语：Well-ordering theorem），或称 Zermelo 定理，表示“所有集合都可以被良排序”。一集合 $X$ 被一个严格全序所良排序，如若对任意 $X$ 之非空子集，在该序关系下均蕴含一个最大元。所有与选择公理等价之命题，良序定理同 Zorn 引理 乃最重要的两个陈述。该定理相当重要，超限归纳法借由该定理方可作用于任意集合。

历史

Cantor 认为良序定理是“思维的基本原理”。但是多数数学家发现，找到如实数集合 $\mathbb {R}$ 这样的良序集合并非那么容易。在1904年，Gyula Kőnig 声称已经证明了这种良序不能存在。几周之后，Felix Hausdorff 在他的证明中发现了一个错误。在此之后，Ernst Zermelo 引入了 “无可非议” 的选择公理，以证明良序定理。事实上在一阶逻辑下，良序定理等价于选择公理，其中一个和 Zermelo-Frankel 集合论一起即可证明另一个；在二阶逻辑下良序定理略强于选择公理。

良序定理可给出似乎是悖论的推论，比如 Banach-Tarski 悖论。

关于选择公理、Zorn 引理、良序定理，下面这句玩笑话在某种程度上说明了其直觉上之联系：

“选择公理显然为真，而良序原理显然为假，那谁来说说 Zorn 引理？”

从选择公理证明良序定理

证明如下。

设有欲良排序之任意集合 $A$，令 $f$ 为 $A$ 非空子集族的选择函数。对任意序数 $\alpha$，定义 $A$ 中的元 $a_{\alpha }$ 为 $a_{\alpha }=f\left(A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}\right)$ 当 $A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}$ 非空，否则使 $a_{\alpha }$ 未定义。此时，$a_{\alpha }$ 选择自 $A$ 之元素所构成的集合，而尚未被排序（或者因为 $A$ 已然完全枚举而未被定义）。接下来，定义 $A$ 上的序关系 $<$ 以 $a_{\alpha }<a_{\beta }$ 当且仅当 $\alpha <\beta$（在序数间通常的良序下），此即所需之 $A$ 上的良序，序类型 $\sup \left\{\alpha \colon a_{\alpha }{\mbox{ is defined}}\right\}$。

从良序定理证明选择公理

证明如下。

为构建非空集之集族 $E$ 上之选择函数，对该集族取并为 $X=\bigcup _{A\in E}A$。$X$ 存在良序；设该序关系为 $R$。对每个 $E$ 中的元 $S$，规定选择函数映之于 $S$ 中在序关系 $R$ 下的最大元。这样就得到了所需的选择函数。

证明中，一个必不可少的点在于，证明仅涉及唯一一个任意选择，即 $R$；分别于 $E$ 的每个元 $S$ 应用良序定理并不一定可行，因为良序定理仅声明了良序之存在性，而为每个 $S$ 赋予良序将要求简单地对每个 $S$ 选择出一个元那么多的选择。特别地，如果 $E$ 拥有不可数那么多的集合，不借由选择公理，进行不可数次的选择在 ZF 集合论下不被允许。

参见

• 良序关系
• 选择公理
• 佐恩引理