数学上,维塔利(Vitali)覆盖引理是一个组合几何的结果,用于实分析中。这引理说给出一族球,可以从中找到一族互不相交的球,将这些球半径增加一定倍后,就能把其他的球都覆盖住。
在一个度量空间中有一族闭球
,则这一族球中存在互不相交的球
,适合条件

表示和
有相同中心,而半径是
的三倍的球。
在一个度量空间中有一族半径为正数的闭球
,这族球的半径有有限的上界,即

则这一族球中存在互不相交的球
,
,适合条件

表示和
有相同中心,而半径是
的五倍的球。
取这一族球中半径最大的一个球
,然后除去所有与
相交的球。再从剩下的球中取半径最大的为
,如此类推。那么任何其他的球必定因为和某个
相交而被除去,这个球的半径不大于
,因此包含在
之内。
设这一族球的半径的上确界为R。将这一族按半径分成子集
,j为正整数;
包含半径在区间
的球。依次取
如下:
- 设
。取
为
内互不相交球的子集之中的极大者,即其他在
中的球都与这一子集中某个球相交。从佐恩引理知这样的
存在,以下同。
- 设已取
,k为某大于1的整数。设
是
中不与
中任何球相交的全部球的子集。取
为
内互不相交球的子集之中的极大者。
设
。任何其他的球B必在某一个
中,因此这个球与
中一个球
相交,而
的半径大于B的半径的二分之一,故此B包含在
之内。
因为有无限多球时,可能不存在半径最大的球,所以在构造中,每一步选择的球的半径,只要求接近余下的球的半径的上确界。而结果中的5并非最佳常数。将
的定义中的
的2换成任何大于1的数c,那么就可把结果中的5换成1+2c,即可以用任何大于3的数取代。不过由于未必有半径最大的球,以致不能像有限多球时用3取代,以下是一个简单例子。
在平面
中,给出如下的一族球:对每个正整数n,
是半径为
的闭球,若n为奇数,
的圆心在
;若n为偶数,则圆心在
。所有球都包含原点(0,0),故任意两个球都相交,因此包含互不相交的球的子集只能有一个球。这一族球的半径上确界是2,然而全部球的半径都小于2。若选任何一个
为这个子集,因有半径更大的球
在原点的另一侧,故此
不覆盖
。
这条引理用于证明哈代-李特尔伍德极大不等式。
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.