等比数列,是数列的一种。在等比数列中,任何相邻两项的比例相等,该比值称为公比。因为数列中的任意一项都等于相邻两项的几何平均数,所以又名几何数列(英语:Geometric progression)。
例如数列:
![{\displaystyle 3,6,12,24,48,96,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f4c86fa5a09f6cbfeef361beca6728c92a98f0)
就是一个等比数列。在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公比都等于
。
如果一个等比数列的首项记作
,公比记作
,那么该等比数列第
项
的一般项为:
![{\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96caa72b214c30380f267e8ceec8940780108f0)
换句话说,任意一个等比数列
都可以写成
![{\displaystyle \{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221e67c4d266347549c2457883fe23c448ca0c54)
在一个等比数列中,给定任意两相连项
和
(其中
),可知公比
![{\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf1cf4283d806172c3bff08b05f3f4beb3b9667)
给定任意两项
和
,则有公比
![{\displaystyle r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefd8925fd409222d48fdeca11973bedb733ed30)
这里注意,若
是偶数,则公比可取此结果的正值或负值。
此外,在一个等比数列中,选取某一项,该项的前一项与后一项之积,为原来该项的平方。举例来说,
。
更一般地说,有:
![{\displaystyle a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f421f014de2a5bb4c29b1dbdd84219d50a9afef1)
证明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2578aa8a8c1da10ae6b7b2afb21fa62cb9c17faa)
证毕。
从另一个角度看,等比数列中的任意一项,是其相邻两项的几何平均:
![{\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bafb634275f364789725e0716ba64fb54733f21)
此结果从上面直接可得。
如果有整数
,使得
,那么则有:
![{\displaystyle a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8b5b8069f0653c76db40bddd4b61fccea2953f)
证明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22912a7448e809aeb617cbf7944831978550d075)
由此可将上面的性质一般化成:
![{\displaystyle a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdede3a13191288ab67df8fd670ce6d7531d403)
![{\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f69c50b09a4c8f0900e1009474fe4722eea476a)
其中
是一个小于
的正整数。
给定一个等比数列
,则有:
是一个等比数列。
是一个等比数列。
是一个等差数列。
从等比数列的一般项可知,任意一个可以写成
![{\displaystyle a_{n}=pq^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f6e399d96d2a1c62c71f24e6f806560c338d96)
形式的数列,都是一个等比数列,其中公比
,首项
。
公比(英语:Common ratio)是对于等比数列这一特殊数列而言的,它是指在等比数列中后一项与前一项的商。
等比数列都满足:
。例如,数列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0(因为
),否则为未定义。
一个等比数列的首
项之和,称为等比数列和(sum of geometric sequence)或几何级数(geometric series),记作
。
举例来说,等比数列
的和是
。
等比数列求和的公式如下:
![{\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabe01a0afe27155e3c24f65722ebd0f8fef4176)
其中
为首项,
为项数,
为公比,且
。
公式证明如下:
将等比数列和写作以下形式:
……(1)
将两边同乘以公比 r,有:
……(2)
(1)式减去(2)式,有:
![{\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d82fdab08758507420edb8233077d0285fe500)
当
时,整理后得证。
当
时,可以发现:
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f289b625ffe9be8d6c550ddba46e521e2750b066)
综上所述,等比数列的求和公式为:
![{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c6ffa40a8dfb3a55e652fc8688d481476d1951)
当
时,注意到
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5874496e13dd8058772b56615bbd8122cb2d4b14)
因此,我们可得无限项之和(sum to infinity)的公式为
![{\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0555e329c18f756b27882c0d182d2eef1844b9)
由此可见,当
时,几何级数会收敛到一个固定值。
一个等比数列的首
项之积,称为等比数列积(product of geometric sequence),记作
。
举例来说,等比数列
的积是
。
等比数列求积的公式如下:
![{\displaystyle P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2072e0a5f057affcdf6b61f08b0664bb50ee2ff)
证明如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff9a4c819cb05053adbdcd6a7124f80f58b0c7b)
第二步,公比
的指数中,0来自于数列的第一项。最后一步,使用了等差数列的求和公式,通项为
。