积分图

积分图（英语：integral image），又称总和面积表（英语：summed area table，简称SAT），是一个快速且有效的对一个网格的矩形子区域中计算和的数据结构和算法。

历史

积分图是于1984年由富兰克林·克罗引入计算机图形学领域，在20年后用于维奥拉-琼斯目标检测框架。富兰克林在设计积分图时主要是为Mipmap设计，但积分图并没有在计算机图形学领域中被广泛使用，直至在20年后，积分图才因维奥拉-琼斯目标检测框架的使用而开始普遍起来。然而，从历史角度来看，富兰克林对多维度的概率分布函数研究的理念是众所周知的，即透过观察、计算各自的累积分布函数，以计算出二维 （或N维）概率（面积的概率分布）。

算法

积分图的每一点（x, y）的值是原图中对应位置的左上角区域的所有值得和：

$I(x,y)=\sum _{\begin{smallmatrix}x'\leq x\\y'\leq y\end{smallmatrix}}i(x',y')$

而且，积分图可以只遍历一次图像即可有效的计算出来，因为积分图每一点的（x, y）值是：

$I(x,y)=i(x,y)+I(x-1,y)+I(x,y-1)-I(x-1,y-1)\,$

计算矩形阴影区域的值

一旦积分图计算完毕，对任意矩形区域的和的计算就可以在常数时间内完成。如右图中，阴影矩形区域的值：

$\sum _{\begin{smallmatrix}A(x)<x'\leq C(x)\\A(y)<y'\leq C(y)\end{smallmatrix}}i(x',y')=I(C)+I(A)-I(B)-I(D).$

扩展

这个方法可以自然的扩展到连续空间。

这个方法也可以扩展到高维图像中。如果该矩形的角是$x^{p}$，而$p$是$\{0,1\}^{d}$的话，那么矩形中包含图像的值的总和就能以下列公式计算：

$\sum _{p\in \{0,1\}^{d}}(-1)^{d-\|p\|_{1}}I(x^{p})\,$

其中，$I(x)$是于$x$的积分图，而$d$则是图像尺寸。与表示法$x^{p}$对应的例子有$d=2$、$A=x^{(0,0)}$、$B=x^{(1,0)}$、$C=x^{(1,1)}$和$D=x^{(0,1)}$。以神经影像学作例子，当使用体素或具时间戳记的像素时，神经影像的图像就会具有$d=3$或$d=4$的尺寸。

外部链接

关于积分图的讲座视频

• 介绍积分图像的算法背后的入门理论 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 一个示范积分图像算法的连续版本，取自胡弗拉姆示范项目 （页面存档备份，存于互联网档案馆）