混合规则

复合材料弹性模数的上限和下限，下限为此处给出的混合规则所预测，但上限大于此处给出的混合规则。 实际弹性模数介于曲线之间。

在材料科学中，混合规则是用来预测复合材料的各种性能的平均值。 它提供了弹性模数、极限拉伸强度、热导率和导电度等特性的理论上下限。 通常会使用两种模型，一种用于轴向负载（Voigt 模型） ，一种用于横向负载（Reuss 模型）。

一般来说，对于某些物理性质，如弹性模数 $E$ ，混合规则指出，平行于纤维方向上的整体性能可达：

$E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}$

其中

• $f={\frac {V_{f}}{V_{f}+V_{m}}}$是纤维占整体的体积比例
• $E_{f}$ 是纤维的材料性质
• $E_{m}$ 是基材的材料性质

常犯的错误是以为这是杨氏模数的上限。实际上这个公式给出杨氏模数上限大于 $E_{c}$。即使两个都是等向性(Isotropic)材料，真正的上限是 $E_{c}$ 加上两个成分泊松比之差的平方。

混合逆规则表明，在垂直于纤维的方向上，复合材料的弹性模数可以低至

$E_{c}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}.$

如果所要研究的是弹性模数，则这就称为下限模数，对应横向负载。

弹性模量的推导

Voigt模数

考虑单轴拉伸下的复合材料$\sigma _{\infty }$ 。如果材料要保持完整， $\epsilon _{f}$ (纤维的应变) 必须等于 $\epsilon _{m}$(基材的应变) 。单轴张力的虎克定律给出

${\frac {\sigma _{f}}{E_{f}}}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}={\frac {\sigma _{m}}{E_{m}}}$

1

在这里$\sigma _{f}$, $E_{f}$, $\sigma _{m}$, $E_{m}$分别是纤维和基材的应力和弹性模数。注意到应力的定义是每单位面积的力[N/m^2]，力平衡给出：

$\sigma _{\infty }=f\sigma _{f}+\left(1-f\right)\sigma _{m}$

2

这里$f$是复合材料中纤维的体积比例（并且$1-f$是基材的体积比例）。

如果假设复合材料表现为线弹性材料，即遵守虎克定律$\sigma _{\infty }=E_{c}\epsilon _{c}$对于复合材料的某些弹性模数$E_{c}$以及复合材料的一些应变$\epsilon _{c}$ ，那么等式 (1) 和 (2) 可以结合起来给出

$E_{c}\epsilon _{c}=fE_{f}\epsilon _{f}+\left(1-f\right)E_{m}\epsilon _{m}.$

最后，自从$\epsilon _{c}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}$ ，复合材料的整体弹性模数可表示为

$E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}.$

Reuss 模数

现在在复合材料垂直于纤维方向施加负载，假设$\sigma _{\infty }=\sigma _{f}=\sigma _{m}$ 。复合材料中的总应变分布在材料之间，使得：

$\epsilon _{c}=f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}.$

材料的总模数如下式所示：

$E_{c}={\frac {\sigma _{\infty }}{\epsilon _{c}}}={\frac {\sigma _{f}}{f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}}}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}$

因为$\sigma _{f}=E\epsilon _{f}$, $\sigma _{m}=E\epsilon _{m}$ 。

其他特性

类似的推导给出了混合规则

• 质量密度： \rho_c=\rho_f\centerdot f+\rho_M\centerdot (1-f)$$\rho _{c}=\rho _{f}\centerdot f+\rho _{M}\centerdot (1-f)$$
• 极限拉伸强度： $$\left({\frac {f}{\sigma _{UTS,f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{UTS,m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{UTS,c}\leq f\sigma _{UTS,f}+\left(1-f\right)\sigma _{UTS,m}$$
• 热导率： $$\left({\frac {f}{k_{f}}}+{\frac {1-f}{k_{m}}}\right)^{-1}\leq k_{c}\leq fk_{f}+\left(1-f\right)k_{m}$$
• 导电度： $$\left({\frac {f}{\sigma _{f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{c}\leq f\sigma _{f}+\left(1-f\right)\sigma _{m}$$

参见

当考虑化合物的某些物理性质和化学成分的经验相关性时，其他关系、规则或定律也非常类似于混合规则：

• 阿马加特定律– 气体部分体积定律
• Gladstone–Dale 方程– 液体、玻璃和晶体的光学分析
• 柯普定律– 使用质量百分比
• 柯普-诺依曼定律– 合金的比热容
• 维加德定律– 晶格参数

外部链接

• 混合规则计算机