函数方程

函数方程是含有未知函数的方程。函数方程可以有一个解，可以无解，也可以有多个解，甚至可以有无穷多个解。

例子

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)

\Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!

\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi  \over \sin(\pi z)}\,\!

f(x+y)=f(x)f(y),\,\!

的解是所有指数函数。

f(xy)=f(x)+f(y)\,\!

的解是所有对数函数。

f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!

F(az)=aF(z)(1-(z))\,\!

(庞加莱方程)

f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!

(琴生)

g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)\,\!

(达朗贝尔)

f(h(x))=f(x)+1\,\!

函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。

例子：解函数方程 $f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}$ 。

设 $x=y=0$ ： $f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}$ 。所以 $f(0)^{2}=0$ ， $f(0)=0$ 。

现在，设 $y=-x$ ：

f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}

f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}

0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}

由于实数的平方非负，以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零，因此对于所有x， $f(x)^{2}=0$ ，所以 $f(x)=0$ 是唯一的解。