函數方程是含有未知函數的方程。函數方程可以有一個解,可以無解,也可以有多個解,甚至可以有無窮多個解。

- 的解是黎曼ζ函數。

- 的解是伽瑪函數。

的解是伽瑪函數。
的解是所有指數函數。
的解是所有對數函數。
(柯西函數方程)
(龐加萊方程)
(琴生)
(達朗貝爾)
(阿貝爾方程)。
函數方程與代數方程、微分方程不同,並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函數和初等函數的方程的解法完全不同。
對於二元函數方程,對其變量賦予特殊值的做法較多。
例子:解函數方程
。
設
:
。所以
,
。
現在,設
:



由於實數的平方非負,以及兩個非負數的和為零若且唯若兩個數都為零,因此對於所有x,
,所以
是唯一的解。