欧拉-拉格朗日方程(英语:Euler-Lagrange equation)为变分法中的一条重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的临界值(平稳值)函数,换句话说也就是求此泛函在其定义域的临界点的一个方法,与微积分差异的地方在于,泛函的定义域为函数空间而不是
。
该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。
设
,以及
在
中连续,并设泛函
。
若
使得泛函
取得局部平稳值,则对于所有的
,
。
推广到多维的情况,记
,
,
。
若
使得泛函
取得局部平稳值,则在区间
内对于所有的
,皆有
。
设
,及
在
中连续,若
使得泛函
取得局部平稳值,则存在一常数
,使得
。
设
及
为直角坐标上的两个固定点,欲求连接两点之间的最短曲线。设
,并且
;
这里,
为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为
。
现设
,
,
取偏微分,则
,
,
。
若
使得
取得局部平稳值,则
符合第一方程:
,
。
因此,
,
。
随
积分,
,
;
这里,
为常数。重新编排,
,
。
再积分,
,
。
代入初始条件
,
;
即可解得
,是连接两点的一条线段。
另经过其他的分析,可知此解为唯一解,并且该解使得
取得极小值,所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。
另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d,并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。

被积函数为

L的偏导数为

以及

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程,可以得到

也就是说,该函数的一阶导数必须为常值,因此其图像为直线。
- Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.