极化恒等式

极化恒等式（英语：Polarization identity）是一个用范数来计算两个向量的内积的公式。

公式

设$x,y$是复Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

$\left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}+i{{\left\|x+iy\right\|}^{2}}-i{{\left\|x-iy\right\|}^{2}}\right)$。

若$x,y$是实Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

$\left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)$。

推导

设有两个实Hilbert空间中的向量$x,y$，有

$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2x\cdot y$

$(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2x\cdot y$

两式相减，得

$4x\cdot y=(x+y)^{2}-(x-y)^{2}$

所以

$x\cdot y={\frac {1}{4}}[(x+y)^{2}-(x-y)^{2}]$

即
$\left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)$

参见

• 平行四边形恒等式

参考文献

程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.7，241