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朗兰兹纲领

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朗兰兹纲领(Langlands program)是数学中一系列影响深远的构想,联系数论代数几何约化群表示理论;纲领最初由罗伯特·朗兰兹于1967年在一封给安德烈·韦伊的信件[1]中提出。 朗兰兹纲领被广泛视为现代数学研究中最大的单项项目,被爱德华·弗伦克尔英语Edward Frenkel描述为“数学的一种大统一理论”[2]

起源:数论

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我们可以二次互反律之推广阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点: 给定一个Q上的、伽罗瓦群可交换群数域阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数,并断言:此等L-函数俱等于某些 狄利克雷L函数黎曼ζ函数的类推,由狄利克雷特征表达)。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。

若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示,我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数

推广:自守表示理论架构

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朗兰兹洞察到:当找到适当的狄利克雷L-函数的推广,便有可能推广阿廷互反律。

赫克Erich Hecke)曾联系全纯自守形式(定义于上半复平面上、满足某些函数方程全纯函数)与狄利克雷L函数。朗兰兹推广赫克理论,以应用于自守尖点表示自守尖点表示Q-阿代尔环一般线性群 GLn 的某类无限维不可约表示)。

朗兰兹为这些自守表示配上L-函数,然后猜想:

互反猜想. 每一来自给定数域的伽罗瓦群的有限维表示的阿廷 L-函数,都相等于某一来自自守尖点表示的L-函数。

若要建立一一对应,须考虑较伽罗瓦群的适当扩张,称作韦依-德利涅群。在可交换的例子,这相当于将狄利克雷特征推广为赫克特征德文旧称 Größencharakter)。互反猜想蕴含阿廷猜想

再推广:函子性原则

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朗兰兹再进一步推广:

  • 以任何连通约化群 G 代替上文中的一般线性群 GLn
  • 构筑复李群 LG(所谓朗兰兹对偶群,或L群);
  • 以自守表示的L包代替自守表示;每个L包是自守表示组成的有限集,属同一L包的表示称作L不可辨的。
  • 向每一个 G的自守尖点表示和每一个 LG的有限维表示,配与一个L-函数;同一L包中的表示有相同的 L-函数及 -因子。朗兰兹并猜想页面存档备份,存于互联网档案馆):此两个 L-函数满足某函数方程

朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则(Functoriality Principle页面存档备份,存于互联网档案馆))

函子性猜想. 若指定二约化群,并指定其相应的L群之间的可容许同态,则二约化群的自守表示之间应该有某种与其 L-函数相容之关系。

函子性猜想蕴含广义拉马努金猜想

函子性构想本质上是一种诱导表示构造(在传统的自守形式理论中称为提升,在某些特殊情况下已知),因而是协变的(相反地,受限表示构造是逆变的)。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。

上述各猜想亦有其他域上的版本:数域(最早期的版本)、局部域函数域(即Fp(t)的有限扩张; 其中p 是一 素数Fp(t) 是 p 元有限域上的有理函数域)。局部域的与数域的朗兰兹纲领满足一些相容性,二者之方法亦互为用。

朗兰兹纲领的指导思想

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朗兰兹纲领建基于当时已存在的念头:盖尔范德之前几年写的 《尖点形式之启示》(The Philosophy of Cusp Forms);哈瑞希·昌得拉Harish-Chandra)研究 半单李群 的结果和方法;而技术上则有塞尔伯格等的塞尔伯格迹公式

朗兰兹的创见,除技术之深以外,在于他提出上述理论与数论的直接联系,以及其构想中丰富的总体结构(即所谓函子性者也)。

例如在哈瑞希·昌得拉的工作中,我们可见以下原则:

“任何对某一半单(或约化)李群可能做的,应对所有都做。”

故一旦认清一些低维李群 —如 GL2 —在模形式理论之角色,并反观 GL1类域论之角色,我们至少可推测一般 GLn 的情况。

尖点形式之念头来自模曲线上的尖点,在谱理论上对应于离散谱;对比之下连续谱则来自艾森斯坦级数。但当给定的李群越大,则抛物子群越多,技术上则越复杂。

在此等研究途径中不乏各种技巧——通常基于列维分解等事实、具诱导表示的性质 ——但这领域一直都很困难。

模形式方面,亦有例如希尔伯特模形式西格尔模形式theta-级数等等面向。

内窥现象

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内窥(英语:Endoscopy)意谓“在一般共轭中窥见稳定共轭”;共轭意谓群的共轭作用 ;稳定共轭则意谓可取 ;稳定共轭类可分解为有限个一般共轭类。稳定共轭与一般共轭之别造成上述的L-不可辨性。

亚瑟-塞尔伯格迹公式是处理函子性猜想及志村簇哈瑟-韦伊ζ函数之利器。在技术上,我们需要一稳定迹公式,稳定化有赖于将 之一般轨道积分表成内窥群上的稳定轨道积分。内窥理论旨在配对群及其内窥群的轨道积分,称作内窥传递;其关键则是所谓的基本引理

内窥传递不仅是工具,也涵摄函子性猜想的一些特例。

几何化朗兰兹纲领

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数域上的朗兰兹纲领可以翻译到几何的框架,大略步骤如下:

  1. 以紧黎曼曲面 亚纯函数域取代数域
  2. 基本群取代伽罗瓦群
  3. 局部系统取代伽罗瓦表示
  4. 以秩 n 向量丛的模空间 取代
  5. 反常层取代自守形式
  6. 赫克本征层取代赫克本征形式

几何化朗兰兹纲领与规范场论

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2006年,爱德华·威滕和 Anton Kapustin 建议:

  • D-模 (D-module)演绎赫克本征层;
  • 磁单极演绎赫克算子(Hecke operator)。

外部链接

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部分结果

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部分朗兰兹纲领的项目已经完成。

  • GLn 关于局部域的部分:由Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成[3];Henniart[4]亦导出了一较简短的证明。
  • 关于 GLn 关于函数域上的部分:1999年洛朗·拉福格证明之[1] Archive.is存档,存档日期2012-12-05。

奖项

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洛朗·拉福格凭其在函数域上的工作获得2002年菲尔兹奖。拉福格的工作延续了较早期的德林费尔德得菲尔兹奖(1990)的研究。数域方面只有一些特例被证明了,有些是朗兰兹自己完成的。皮特·舒尔策也因在“动机理论”和朗兰兹纲领这两个代数几何学的大方向上有杰出贡献而于2018年获得菲尔兹奖。

参考

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  1. ^ Robert Langlands' work - functoriality. sunsite.ubc.ca. [2021-09-22]. (原始内容存档于2021-02-24). 
  2. ^ Math Quartet Joins Forces on Unified Theory. Quanta. December 8, 2015 [2019-05-31]. (原始内容存档于2021-01-22). 
  3. ^ Harris, M. and Taylor, R.: The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties. (AM-151).. web.archive.org. 2006-09-01 [2021-09-22]. 原始内容存档于2006-09-01. 
  4. ^ http://www.springerlink.com/content/h5yfh3x99xr5hgm1/ [永久失效链接]