数学中的方程求解是指找出哪些值(可能是数、函数、集合)可以使一个方程成立,或是指出这様的解不存在。方程是两个用等号相连的数学表示式,表示式中有一个或多个未知数,未知数为自由变数,解方程就是要找出未知数要在什么情形下,才能使等式成立。更准确的说,方程求解不一定是要找出未知数的值,也有可能是将未知数以表示式来表示。方程的解是一组可以符合方程的未知数,也就是说若用方程的解来取代未知数,会使方程变为恒等式。
例如方程
的解为
,因为若将方程中
取代为
,方程会变成恒等式
。也可以将
视为未知数,解则为
。也可以将
和
都视为未知数,此时会有许多组的解,像是
或是
等,所有满足
的都是上述方程的解。
依问题的不同,方程求解可能只需要找到一组可以满足方程的解,也有可能是要找到所有的解(解集合)。有时方程会存在许多解,但要找到某种最佳解,这类的问题称为最佳化问题,找出最佳化问题的解一般不视为方程求解。
有些情形下,方程求解会需要找到解析解,也就是以解析表达式来表达的解。有些情形下,方程求解只需要找到数值解,也就是数值分析的方法求解近似值。许多方程不存在解析解,或是没有简单形式的解析解,例如五次方程以及更高次的代数方程,不存在根式解(用有限次的四则运算及根号组合而成的解析解),这是由数学家尼尔斯·阿贝尔证明的[1]。
考虑一个具一般性的例子,有一个以下的方程:
,
其中
为未知数,而
为常数。其解为反像集合的成员
![{\displaystyle f^{-1}[c]=\left\{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in T_{1}\times \ldots \times T_{n}|f\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=c\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fd9376c810aa887f1191134171d05c871c55c0)
其中
为函数
的定义域。注意解集合可能为空集合(没有解)、单元素集合(唯一解)、有限个元素的集合及无限多个元素的集合(有无限多的解)。
例如,以下的方程:
![{\displaystyle 3x+2y=21z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e824e85c8a65de3d07cb2b6946627ae68b639bf4)
其未知数为
,
及
,可以在等式二侧同减
,得到以下的式子:
![{\displaystyle 3x+2y-21z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7a02c86effd93daee61cc51c1fcb5fc60308b8)
以此例而言,方程不会只有唯一解,方程解的个数有无限多个,可以写为以下的集合
.
其中一个特殊解为
,而
和
也是其解。解集合描述一个三维空间中,恰好穿过上述三个点的平面。
若解集合为空集合,表示不存在
使得以下方程成立
,
其中
为一特定常数。
例如考虑一个经典的单变数例子,考虑定义域为整数的平方函数
:
,
考虑以下方程
.
其解集合为
,是空集合。因为2不是任何整数的平方,因此不可能找到整数可以使以上方程成立。但若修改函数的定义域,将其定义域改为所有实数,则上式有二个解,其解集合为
.
有些方程的解集合可能形成一个平面或曲面。例如在学习基础数学时,有提及形式为
的方程,其中
,
, 和
都是实数的常数,且
和
至少有一个不为零,其解集合形成向量空间
中的一条直线。不过有些解集合不易用图解表示,例如
(
,
,
,
, and
为实数的常数)的解集合会形成超平面。