斯坦豪斯-莫泽表示法,又称斯坦豪斯-莫泽记号、斯坦豪斯-莫泽多边形记号、多边形记号,为利用多边形来表示大数的一种表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯发明,后来李奥·莫泽扩展了该表示法。
斯坦豪斯多边形记号的定义如下:
= nn
= “n放进n个三角形中”
= “n放进n个正方形中”
斯坦豪斯使用这个符号定义了一些数:
被称为Mega数。
被称为Megiston数。
莫泽多边形记号是斯坦豪斯多边形记号的扩张,这个记号不使用圆形,而使用一般的多边形。
、
与斯坦豪斯的记号相同。
= “n放进n个正方形中”(=
)
- 一般来说,“n放进m边形中”=“n放进n个m - 1边形中”
而“2放进
边形中”则被称为莫泽数。
纽约大学的苏珊·史蒂芬教授在自己的网站中使用以下替代符号:
- “n放进p边形中”使用
来表示。(请注意:在本条目中,
都是表示某个数字放进正
边形中,并不是第
级的超运算,为了避免搞混,第
级的超运算在本条目中是使用
个向上的箭号表示,请见高德纳箭号表示法)
可以重复使用。例如,“‘n放进q边形中’放进p边形中”可以表示为
。
- “n放进k个p边形中”表示为
。换句话说,
可以定义为
。
多边形记号可以使用这种表示法来定义:
![{\displaystyle =n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b09e7e3e404461ca69e79f319d34718d27f290f5)
![{\displaystyle =n[4]=n[3]_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99757dabedca3a405881fed7af7b211765e58fe)
![{\displaystyle =n[5]=n[4]_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7810f723a5d89dd9477f20c28ef3ed0ae4096f31)
- 一般来说,
。
上面所使用的↑为高德纳箭号表示法中的记号。
其他例子:
![{\displaystyle =n[3]_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2098c95d2eee460a546bf65c210799353e7e4c33)
斯坦豪斯和莫泽所定义的大数可如下表示:
(Mega数)![{\displaystyle =2[5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3618fc794cdb74c10a3c8949e237ee7fc656348d)
(Megiston数)![{\displaystyle =10[5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bcf255dc611475878019158f0ac25b253bfe78)
- 莫泽数 =
![{\displaystyle 2[2[5]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb36fcac84c05d2e171adbf4ea1e90f307a6d39)
- 2[3] = 22 = 4
- 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256
= 2[5]
- = 2[4]2
- = 2[4][4]
- = 256[4]
- = 256[3]256
256[3]n所代表的值如下(n从1开始):
![{\displaystyle 256[3]=256^{256}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776982248a22a95378172b3db3433c7de96c6f71)
,
![{\displaystyle 256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{(257+256^{257})}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa47e47d5157eb355800b7bea6dbbae0d506cbb2)
这个数字可以“近似”如下:
![{\displaystyle 256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07850422214018533a44329b36cef8ad9824dd7b)
这个近似值跟
实际上差了非常多倍:
![{\displaystyle 256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7249a317c51d7f19551040a8e36685220ed143bd)
通常人们会感觉这两个数很近,其实差很远。
类似地,
![{\displaystyle 256[3]_{4}\risingdotseq \left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{256^{256^{257}}}}=256^{\left(256^{256^{257}}\times 256^{256^{256^{257}}}\right)}=256^{256^{(256^{257}+256^{256^{257}})}}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bd464f432f7102d8a51310562e4f9464987bb5)
![{\displaystyle 256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c42c03d94a1b32933ed3020c81b994281bf9d7b)
这种“近似”方法也可以推展到所求的Mega数:
![{\displaystyle =256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c88c665dbd90a3b9a826897555a76e374ef1fe)
如果再采用更简化的“近似值”,可以推得:
![{\displaystyle \risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0966ebca9c45648793b980f31595a87fa3b1df9e)
实际上,
![{\displaystyle \gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b82eff8a176865a12bd541957d8bcf10b70170)
如果以10为底,则可表示成:
![{\displaystyle \approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)\approx (10\uparrow )^{256}\left(6.19\times 10^{2}\right)\approx (10\uparrow )^{257}\left(2.79\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eff97cecb5b32b6edd3462fe705c5d3121c14a3)
因此Mega数的范围为:
![{\displaystyle <10\uparrow \uparrow 258}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f94edfa16dcd2632d696c60716c421827de8f58)
= 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4]
通过类似于Mega数近似值的近似方法,可得:
![{\displaystyle a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66549eaa3d1f8088346f3ac84431a674a4df6a91)
(*)
将a换成10,可得:
![{\displaystyle 10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074d6bc5d54a5cf307db58e2ff7f37b73532c272)
![{\displaystyle 10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cc71b537917b62d77364004ea2b88cb809c098)
下式为把开头的10换成a,11换成b,后面的
换成n之后的计算(其中a↑b = ab):
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow \uparrow (b-1))\times (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66024cdda582d8bdc99cefa7691b2751b2dd5281)
当a, b皆足够大时:
![{\displaystyle a\uparrow \uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c33daa233cd6b404874ad3121efb0fa691b3b1)
所以
![{\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55075ee764cff729d0fcc839235a476a6746b31f)
这是一个近似值。
此时重复上面的操作,直到n = 1为止:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b917613d7b446a5ee5e0c491108eba63c241f1d9)
因此,当
时
(**)
这是一个近似值。
使用(**)式,可得
的近似值:
![{\displaystyle 10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5425f7740f8d129ece806093f7bd3819ca2ff1)
以下的近似值使用(*)和(**)式:
![{\displaystyle 10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c481e77af28f502672e5aa4f89e081e01f632af)
![{\displaystyle 10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e4a614bb8307f55655448cad2e096aaa51ae42)
![{\displaystyle 10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ec23371b6902b840daabfa39f916f6b852b33a)
因此,
![{\displaystyle 10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd71f8b701ad712358c42c534db6c69f05eadd1)
所以Megiston数大致等于:
![{\displaystyle \risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a68c044beb60affb655a762449dda54fd9902d)
然而,实际上近似值远小于真正的Megiston数:
![{\displaystyle \gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435ca6709f5b97b348dff0a312b6c72fb236055b)
莫泽数代表![{\displaystyle 2[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847d578ef9157aefaaeb6bfa24bcaa947ed19687)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Circle-two.svg/18px-Circle-two.svg.png)
。由于
是相当巨大的数字,
边形几乎跟圆没有差别,因此采用莫泽多边形记号是不可能画出莫泽数的。
尽管
是非常巨大的,跟
相比来说仍是微不足道的。
提姆·周在1998年证明了下式[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆),可见莫泽数远远小于葛立恒数(因为下式中后者还比葛立恒数小很多):
利用高德纳箭号表示法来准确表示莫泽数几乎是不可能的,但是可以用近似值来表示。莫泽数近似于
(
-2个箭号)。